大师兄的贝叶斯网络学习笔记（十三）：图分割与变量独立（一）
大师兄的贝叶斯网络学习笔记（十五）：图分割与变量独立（二）
2.一般情况
-
在一个贝叶斯网络中，两节点X和Y之间的一条通路是开始于X结束于Y的一个节点序列，其中节点各异且在序列中相邻的节点在贝叶斯网络中都有边将它们相连。
- 图中A->D->B 和 A->D->H->K<-I<-E-<B是A与B之间的两条通路。
- 第一条为*顺连通路8，因为其中所有边都指向同一个方向。
- 第二条通路不是顺连通路，因为其中有指向不同方向的边。
- 设Z为谋通路上的一个节点：
- 如果Z与它前后两个节点形成一个顺连结构，则称他是一个顺连节点；
- 如果Z与它前后两个节点形成一个汇连结构，则成Z为一个汇连节点。
- 设Z为一个节点集合，X和Y是不在Z中的两个节点。考虑X和Y之间的一条通过a。如果满足下面条件，则a被Z所阻塞：
- a上有一个在Z中的顺连节点；
- a上有一个在Z中的分连节点；
- a上有一个汇连节点W，他和他的后代节点均不在Z中。
- 如果通路a被Z所阻塞，那么当已知Z中变量的取值时，信息就不能沿着a在X和Y之间传递。
- 在前两种情况下，从X来的信息不能改变关于变量Z的信度，从而不会通过Z影响关于Y的信度。
- 而在第三种情况下，从X来的信息会从W处漏掉，从而不会到达Y。
- 如果X和Y之间的所有通路都被Z阻塞，那么我们就说Z有向分割（directed separate）X和Y，简称d-分割。
- 如果Z d-分割 X和Y，那么当Z中的变量全部被观测到时，信息就不能在X和Y之间传递，故X和Y相互独立。
- 设X,Y,Z是3个两两相交的节点集合，如果X和Y中的任意两节点
都被Z d-分割，那么称Z d-分割X和Y，这时，X和Y在给定Z时条件独立。
2.1 贝叶斯网络案例
- 设
，先考虑节点A和E，它们之间有通路A->D->B->E，它未被Z阻塞，因此A和E不被Z-d分割。
- 再考虑A和C，两者之间有四条通路：
- A->D->B->E<-C
- A->D->B->E->I->L<-J<-F-<C
- A->D->H->K<-I<-E<-C
- A->D->H->K<-I<-L<-J<-F<-C
- 四条通路中都存在汇连节点，且这些节点及其后代均不在Z中，所以A和C杯Z d-分隔。
- 设
，再次考查A和C是否被Z d-分隔。这时两者之间的四条通路中，前2条在节点B处有顺连结构，所以被B阻塞；
- 后2条在K处有汇连结构，但K有一个后代节点
，所以这两条通路不被阻塞，所以A和C不被Z d-分隔。
- 设
- 前者在J处有汇连结构F->J<-G，且J及其所有后代节点都不在Z中。
- 后者在L处有汇连结构I->L-<J，且L及其所有后代节点也都不在Z中。
- 因此，所有从A到G的通路都被Z阻塞，A和G杯Z d-分隔。
