1.子空间聚类
给定一个n个样本构成的矩阵，并且已知这
个样本是分别来自
个子空间
。令
表示
个子空间的维度（其中
是未知的）。子空间聚类的目的是将这个
个样本正确地划归到各自所属的子空间中去，即将
个样本聚成
类，每一个类就是一个子空间。
从上图可以看到，总共有三个子空间，每个子空间上都有一些样本，位于同一个子空间内的样本就可以说是同一类的。每一个子空间有其相应的维数,和一组基
，由这组基可以表示该子空间中任意一个向量。
2.稀疏表示模型和低秩表示模型
目前，有四大类主流的求解子空间聚类问题的算法，分别是：
（1）基于统计的方法：混合数据假设是从服从某一概率分布（如混合高斯分布）中抽取出的独立样本集，于是数据的分割问题就转化为一模型估计问题。代表性的工作有凝聚有损压缩[2]和随机抽样一致[1]；
（2）基于矩阵分解的方法：将数据矩阵分解为一正交基矩阵和一低秩矩阵的乘积，从分解结果的结构来揭示聚类的特性。当子空间含有噪声和奇异值，或者独立子空间的假设不成立时，此类方法的效果不尽人意。代表性的工作有K子空间分割[4]；
（3）基于代数的方法：可以处理子空间不是相互独立的情况，但计算量大，且对噪声和奇异值敏感。代表性的工作有Generalized PCA(GPCA)[3]；
（4）基于谱聚类的方法：谱聚类算法是一种对高维数据进行聚类的技术。基于谱聚类的子空间分割算法先根据观测样本求得一个相似矩阵，然后对这个相似矩阵进行谱聚类获得最终的聚类结果。代表性的工作有稀疏子空间聚类[5]和低秩表示子空间聚类[6][7]。
这里我们展开解释稀疏表示和低秩表示。
稀疏表示(Sparse Representation)
稀疏表示这一概念的提出，说到底还是受到压缩感知理论[8][9]的启发。该理论认为很多高维数据是冗余的，如果其具有可压缩性，那么可以只需要通过少量的采样便可恢复原始高维数据。更简单地说就是，许多高维数据是存在其低维表示的。
学过线性代数的都应该知道线性相关这一概念，即向量组,其中
是
的列向量，若存在不全为0 的系数
，使得
成立，则说
是线性相关的，如若
不等于零，那
就可以被其余向量线性表示，即
。
有了以上两个认知，就可以理解稀疏表示了。在前面提到过位于同一个子空间中的样本，如果样本数足够多，那么某一个样本是可以被与它位于同一个子空间中的其他样本线性表示的，而我们希望用尽量少的样本来表示
，这就是稀疏表示的简单理解，用数学语言描述该模型如下：
给定一个n个样本构成的矩阵,其中每一列是一个样本，由
中
个样本构成一个“字典”
,
中每一列成为原子。那么，每一个样本都可以表示成“字典”中原子的线性组合：
其中,是系数矩阵，
是样本
的“表示”。而字典
通常是过完备的，因为经常是选取全部样本作为字典，即
。因此，上市会有多个解。但是如给系数矩阵加上约束，则会有唯一解。稀疏表示即是要求系数矩阵
是最稀疏的，即
其中，是求矩阵所有元素的绝对值的和。进一步，这个模型还可以加上噪声，即
低秩表示模型(Low-rank Representation)
低秩表示模型和稀疏表示模型几乎一样，区别仅在于对系数矩阵的约束不同，在低秩表示中，它期望系数表示矩阵Z尽可能的低秩，用数学语言描述如下:
其中,表示矩阵
的秩。与
范数一样，秩函数也具有离散组合性质，因此求解上式是一个NP难得。但是如果上式存在一个较低秩的解的话，秩优化问题可以被松弛为核范数最小化问题，即:
其中，是矩阵的核范数。松弛的原理可以这么理解，一个矩阵的秩等于其非零奇异值的个数。那么矩阵的秩最小化等价于矩阵的奇异值非零个数尽量少，进一步可以松弛为矩阵的所有奇异值的和尽量小。
低秩表示模型是在稀疏表示模型之后提出来的，当然它比稀疏表示模型的性能更好，这是因为低秩表示模型中的核函数自带聚集属性，具体的原因我推荐论文[10]中的讲解（在其第五章中）。
求解上述两个模型的方法有很多，有兴趣的朋友可以参阅论文[11]。
Reference
[1]Fischler M., Bolles R. RANSAC random sample consensus: a paradigm for model fitting with applications to image analysis and automated cartography. Journal of ACM, 1981, 24(6): 381–395.
[2]Ma Y., Derksen H., Hong W., Wright J. Segmentation of multivariate mixed data via lossy coding and compression. IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2007, 29(9): 1546–1562.
[3]Vidal R., Ma Y., Sastry S. Generalized principal component analysis (GPCA). IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2005, 27(12): 1–15.
[4]Lu L., Vidal R. Combined central and subspace clustering on computer vision applications. In: Proc. 23rd Int’l Conf. Machine Learning (ICML), 2006, pp.593–600.
[5] Elhamifar E, Vidal R. Sparse subspace clustering[J]. IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, Cvpr, 2009:2790 - 2797.
[6]G L, Z L, S Y, et al. Robust Recovery of Subspace Structures by LowRank Representation[J]. Pattern Analysis & Machine Intelligence IEEE Transactions on, 2010, 35(1):171 - 184.
[7]X G, K Z, D T, et al. Image SuperResolution With Sparse Neighbor Embedding[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2012, 21(7):3194 - 3205.
[8]Donoho D L． Compressed sensing． IEEE Transactions on Information Theory,2006 52(4)：1289-1306．
[9]Cand6s E．Compressive sampling．Proceedings of Proceedings of Inter-national Congress of Mathematicians，2006．1433-1452．
[10] 卢参义. 基于稀疏表示的人脸分类与聚类[D]. 中国科学技术大学, 2012. DOI:10.7666/d.y2126052.
[11]Lin Z, Chen M, Ma Y. The Augmented Lagrange Multiplier Method for Exact Recovery of Corrupted Low-Rank Matrices[J]. Eprint Arxiv, 2010.
