商映射
定义（商映射）：令
和
为两拓扑空间，令
为一个满射函数，则
被称为一个商映射，如果
是开集当且仅当%5Csubset%20X)
是开集。
我们可以看出，一个商映射一定是一个连续映射；有些数学家也把商映射称为强连续。我们可以用另外一种方式定义商映射：称的一个子集
在满射下是饱和的，如果包含了所有与它自身相交的)
；换言之，如果某个%3Dp_0)
且
那么所有满足%3Dp_0)
的点都在中；集合
饱和当且仅当)%3DU)
。那么，一个连续的满射是商映射当且仅当把中的饱和开集映射到中的开集。
接下来介绍两种特殊的商映射。首先，一个函数
是开映射/闭映射，如果对于中的任意开/闭集，集合)
在中是开/闭的。那么一个连续满射是商映射如果它是开映射或闭映射。当然，也有商映射既不是开的也不是闭的。
商拓扑与商空间
通过商映射可以在集合上构造商拓扑。
定义（商拓扑）：如果是一个拓扑空间，
是一个集合，且
是一个满射，那么存在且仅存在一个上的拓扑
使得是一个商映射。我们把叫做由诱导的商拓扑。
显然，中的开集为
使得)
在中是开集。验证是一个开集也很直接。
定义（商空间）：令是一个拓扑空间，
是的一个的划分（无遗漏且互斥），令
将中的元素映射到中包含它的划分集合中，那么是一个满射，且在诱导的商拓扑上，为的一个商空间。
给定，存在上的一个等价关系，即中的每个元素为一个等价类。在几何意义上来说，商空间即为把每个等价类中的点“粘”在了一起。
构造商映射
将商映射限制到子空间上的映射不一定是一个商映射，但是我们可以加上一些条件：
定理：令是一个商映射，是的一个子空间且对饱和，令)
是将限制到上的映射，则
- 如果是中的开集或闭集，那么
是一个商映射
- 如果是一个开映射或者闭映射，那么是一个商映射
我们再来考虑之前的概念与商映射/商空间的关系：
- 两个商映射的复合是商映射。这个性质证明比较简单。
- 两个商映射的笛卡尔积不一定是商映射。
-
的商空间不一定是一个豪斯多夫空间，即使本身是豪斯多夫空间。
商映射与连续映射
定理：令是一个商映射，
是一个空间且
对于每个集合%2Cy%5Cin%20Y)
是一个常数。则
诱导了一个映射
使得
，且
连续当且仅当连续，是商映射当且仅当是商映射。
推论：令是一个连续满射，是如下集合 ~%7C~z%5Cin%20Z%5C%7D)
那么是对的一个划分。给定上商拓扑，那么有
-
诱导了一个连续双射
，且如果是商映射，则是同胚
- 如果是豪斯多夫空间，则也是豪斯多夫空间
