商映射

定义（商映射）：令 $X$ 和 $Y$ 为两拓扑空间，令 $p:X\to Y$ 为一个满射函数，则 $p$ 被称为一个商映射，如果 $U\subset Y$ 是开集当且仅当 $p^{-1}(U)\subset X$ 是开集。

我们可以看出，一个商映射一定是一个连续映射；有些数学家也把商映射称为强连续。我们可以用另外一种方式定义商映射：称 $X$ 的一个子集 $C$ 在满射 $p$ 下是饱和的，如果 $C$ 包含了所有与它自身相交的 $p^{-1}(\{y\})$ ；换言之，如果某个 $p(x)=p_0$ 且 $x\in C$ 那么所有满足 $p(y)=p_0$ 的点都在 $C$ 中；集合 $U$ 饱和当且仅当 $p^{-1}(p(U))=U$ 。那么，一个连续的满射 $p$ 是商映射当且仅当 $p$ 把 $X$ 中的饱和开集映射到 $Y$ 中的开集。

接下来介绍两种特殊的商映射。首先，一个函数 $f:X\to Y$ 是开映射/闭映射，如果对于 $X$ 中的任意开/闭集 $U$ ，集合 $f(U)$ 在 $Y$ 中是开/闭的。那么一个连续满射 $p$ 是商映射如果它是开映射或闭映射。当然，也有商映射既不是开的也不是闭的。

商拓扑与商空间

通过商映射可以在集合上构造商拓扑。

定义（商拓扑）：如果 $X$ 是一个拓扑空间， $A$ 是一个集合，且 $p:X\to A$ 是一个满射，那么存在且仅存在一个 $A$ 上的拓扑 $\mathcal{T}$ 使得 $p$ 是一个商映射。我们把 $\mathcal{T}$ 叫做由 $p$ 诱导的商拓扑。

显然， $\mathcal{T}$ 中的开集为 $U\subset A$ 使得 $p^{-1}(U)$ 在 $X$ 中是开集。验证 $\mathcal{T}$ 是一个开集也很直接。

定义（商空间）：令 $X$ 是一个拓扑空间， $X^*$ 是 $X$ 的一个的划分（无遗漏且互斥），令 $p:X\to X^*$ 将 $X$ 中的元素映射到 $X^*$ 中包含它的划分集合中，那么 $p$ 是一个满射，且在 $p$ 诱导的商拓扑上， $X^*$ 为 $X$ 的一个商空间。

给定 $X^*$ ，存在 $X$ 上的一个等价关系，即 $X^*$ 中的每个元素为一个等价类。在几何意义上来说，商空间即为把每个等价类中的点“粘”在了一起。

构造商映射

将商映射限制到子空间上的映射不一定是一个商映射，但是我们可以加上一些条件：

定理：令 $p:X\to Y$ 是一个商映射， $A$ 是 $X$ 的一个子空间且对 $p$ 饱和，令 $q:A\to p(A)$ 是将 $p$ 限制到 $A$ 上的映射，则

如果 $A$ 是 $X$ 中的开集或闭集，那么 $q$ 是一个商映射

如果 $p$ 是一个开映射或者闭映射，那么 $q$ 是一个商映射

我们再来考虑之前的概念与商映射/商空间的关系：

两个商映射的复合是商映射。这个性质证明比较简单。
两个商映射的笛卡尔积不一定是商映射。
$X$ 的商空间 $X^*$ 不一定是一个豪斯多夫空间，即使 $X$ 本身是豪斯多夫空间。

商映射与连续映射

定理：令 $p:X\to Y$ 是一个商映射， $Z$ 是一个空间且 $g:X\to Z$ 对于每个集合 $p^{-1}(\{y\}),y\in Y$ 是一个常数。则 $g$ 诱导了一个映射 $f:Y\to Z$ 使得 $f\circ p = g$ ，且 $f$ 连续当且仅当 $g$ 连续， $f$ 是商映射当且仅当 $g$ 是商映射。

推论：令 $g:X\to Z$ 是一个连续满射， $X^*$ 是如下集合 $X^*=\{g^{-1}(\{z\})~|~z\in Z\}$ 那么 $X^*$ 是对 $X$ 的一个划分。给定 $X^*$ 上商拓扑，那么有

$g$ 诱导了一个连续双射 $f:X^*\to Z$ ，且如果 $g$ 是商映射，则 $f$ 是同胚

如果 $Z$ 是豪斯多夫空间，则 $X^*$ 也是豪斯多夫空间

学习笔记 - 拓扑学（八）

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商映射

商拓扑与商空间

构造商映射

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