积分与路径无关的一类题！（考研必看）

咱们先看三道题：

1.曲线L是A（-a，0）经过上半椭圆（a>b）到B（a，0）的弧段，求在L上积分

2.设L为：{ x=t-sint-pi  y=1-cost } t=0到2pi的一段，则

3.L为：从(-a,0)到(a,0)的上半弧，则

分析：这三个题目被积函数均相同（其实都是第三题的变题），而且均为积分与路径无关，因此，我们就需要重新，选择路径。这种我们一般选择可以使得分母为常数的路径

第一个：我们选择：从(-a,0)到(a,0)的上半弧

第二个：原来起始点为（-pi，0）（pi，0），因此我们选择的上半弧

第三个：不变

从这里就可以看出，其实第一题和第三题答案应该一模一样，而且第二题的答案，应该是一三答案里面把a换成pi，所以我们先来做第三题。

正常的积分与路径无关，我们换路径之后，都回去考虑格林公式，那么这题可以吗？答案是不行的，为什么，有人可能认为，换完路径是一个半圆，然后格林公式算面积，这题最骚的就在这：（0，0）点是奇点，而你要想用格林，且最快解出答案，必定要选择（0，0）这个路径（可以看下图）

我们对于这种问题一般有两种方法，不采用格林，就用半圆弧计算：

第一种：我们先把分母拿出来，用x来表示y，全部化为x的定积分

详细解答：

第二种：我们还是把分母拿出来，用参数方程做，参数t的取值，可以利用x，y的起始位置来确定

详细答案：（推荐！！）

通过上面的解答我们发现参数方程是很简单，而且惊喜的看到答案里面和a无关！！因此，第二问答案也是-pi，我们可以总结一下规律：

 这种被积函数，肯定是积分与路径和无关，而且，起终点关于y轴对称（起点在左，终点在右，位置互换，可以自己研究一下），那么曲线积分的值一定是-pi！！！