前言
τp变换类似于图像处理中的一维线性Radon(拉东)变换，是上世纪90年代就有的技术。τp变换更多的是专用于地球物理数据处理领域，因为地球物理勘探采集到的各种有效波旅行时的函数式都是确定的！例如折射波、面波、直达波等具有直线特征，P-P反射波、P-SV转换波等具有双曲线特征。正是因为这些波的函数式类型是确定的，因此当它们混合在一起时，可以利用τp变换的方法进行波场分离！
故可以先总结一下τp变换的优缺点：
- 优点：适用于可以用具体函数关系式描述的波场！波场分离后区分明显！适用于地震勘探中多种有效波的波场分离；
- 缺点：如果是单纯的野外地震记录，有大量无规律噪声信号混杂，那么τp变换效果不好！故个人感觉不太适用于天然地震中的噪声分离。
因为，本文主要介绍τp变换在地震勘探中的实际含义和操作，然后编程实现。
τp变换地震勘探中的含义
地震勘探理论模拟中，用到最多的是面波。因此先介绍面波的近似和如何产生面波。
假设地下是一个无限大的均匀半空间，在地表有单一震源激发一个球面波；当这个球面波传播到足够远时，它扩展的半径就足够大！此时在一个"小范围/小尺度内"来看球面波(一小部分)是可以近似看成是平面波的。这是理论前提。
实际激发平面波的方法：在地表沿一条测线等间距布置一系列炮点，同时激发，同时向下传播各自的球面波；这些球面波的波前可以用直线连起来，也就是说这些球面波可以合成为一个平面波！这是"水平平面波"的模拟方法。另外，只要各个炮点的激发按一定的时间间隔先后激发，同样的方法合成的波前面可以模拟"倾斜平面波"！图1是两种模拟平面波的示意图：
所以总波场可以用各个子波场的叠加来近似代替：
当我们有了平面波的概念后，下面再近似一个勘探常用到的概念：视速度。
视速度的定义：就是你观察方法所对应的速度。
在地球物理的地震勘探中，常用的视速度有两种：水平视速度、垂直视速度。它们的概念和对应的公式推导可以用图2展示：
设图中OA、OB、OC的长度分别为：L、x、z；波在地下介质中的传播速度为v。当波到大A点时，在地面x轴和地下z轴上观察其实早已通过了B点和C点！也就是波在地表x轴和地下z轴所观察到的视速度要比波在地下传播的本身速度快！根据图中的几何关系，我们可以得到地表x轴和地下z轴这2个方向上的视速度计算公式：
波传播到B和C点所用的时间为：
所以，我们可以波到A的时间与波到B和C的时间之间的规律：
这就是说：波场传播的时间是可以进行正交分解的。有了这样的规律，我们就可以轻松的求取地下是多次介质的波传播的旅行时。
下面我们继续深入，研究一个多层介质组成的地下模型的波传播的旅行时，并在此基础上引用τp变换中的两个参数。多层介质的模型如下图3所示，设各层速度、水平视速度、垂直视速度为：
利用时间的正交分解得到波从一段激发另一端接收，总旅行时为(注意是双程的，要x2)：
根据折射定律，相临上下两层间的速度与角度关系为：
上层水平视速度为：；下层水平视速度为：
所以，我们可以得到：，并且推广可得所有层的水平视速度都相等：
现在再引入"慢度"的概念，即速度的倒数。设各层的水平慢度为，垂直慢度为
，带回总旅行时的方程中，可得：
总把各层水平视速度都相等的关系带入可得(注意是双程的)：
设，则总旅行时最后的计算公式为：
这样总旅行时的计算公式，就从原始的空间转换到τp空间！从最后得到的公式可以看出：p其实就是各层的水平慢度(每层数值都一样)，τ就是垂向总时间。下面总结参数τ和p的2种理解方式：
- 物理意义角度：p是水平慢度，τ是垂直慢度与垂直各层深度的乘积和；
- 函数关系角度：最后的公式变成了一个直线方程，p是斜率，τ是时间轴的截距。
τp变换2个参数的讲解就到此结束了，下面我们将利用第2条的理解方式来进行编程实现。
程序实现
前文已经说过，τp变换适用于波旅行时的函数关系式已知的情况。根据上面第2条的理解，实际操作中：p其实就是函数上每个点切线的斜率，τ就是每个点切线在时间轴上的截距。
所以，如果原函数式是直线的话，其上各个点的切线和对应的截距都是一样的(都是原函数)！即原来的直线转换到τp域上就是一个点！这是区分最为明显的！下面来看几个函数式利用τp变换进行分离：
很明显可以看出，原来的两条直线(蓝色和紫色)转换到τp域之后就是一个点！原来的幂函数(黄色)与双曲函数(红色)转换到τp域之后，在空间分布上也有很的区别！在τp域剔除原信号中的两个直线信号实在是太容易了(把那两个点删了后再反变换回去就行)！
总结：
- τp变换最好用的地方还是对直线波形的分离和剔除！因为τp变换本身就是一个线性变换，因此它处理线性信号的效果是最好的(转为是一个点)；
- τp变换适用于函数表达式已知！根据上面的说明，τp变换要利用点斜式求切线！所以原函数必须已知，且一阶导函数必须存在。
- τp变化是一种地球物理专门的工具，适用性不广！
