密码学第4章 简单数论和有限域基本概念

4.1 整除理论:

  1. b|g 且 b|h 对任意m,n 有 b|(mg+nh)。
    2.整除三角理论: a|(b+c),a|b 则 a|c
    可以和1构成扩展。
    3.传递性:a|b , b|c 则 a|c。

4.2 Euclid算法:

只要证明gcd(a,b),若b>a且b = am+r。
则有gcd(a,b) = gcd(a,r)。
证明如下:
令d = gcd(a,b),d|a,d|b
d|b -> d|am+r
d|a -> d|am
由于整除三角,所以d|r
可以设d'=gcd(a,r)。然后证明d'|d , d|d' 来证明d=d'

4.3 模运算:

同余:\equiv
同余类的引出。
(1) n|(a-b) 那么 a \equiv b (mod n)
这条经常被用来证明同余,因为整除理论里面有强大的(1)和(2),三角理论。

用符号Z_n来表示 模n的剩余类。
乘法逆元存在性的表征现象。

扩展euclid:
求解这样的:ax+by = d = gcd(a,b)方程的。
而这样的方程是有扩展性的。
ax+by = k
若上述方程有解,那么d|k。
因为k = ax+by,并且d|a并且d|b 所以d|k。
从而可以设k = qd.只要求解 ax+by=d的方程的解,若解为(x',y')那么方程ax+by=k的解就为(qx',qy')。

从而问题在于求解 ax+by = d = gcd(a,b)
算法很简单,只要基于以下两个原理:
我们不影响答案地认为a>b。
那么

  1. b = 0的时候。d = gcd(a,0) = a,从而有解 (x=1,y = 0)。
    2.方程ax+by = gcd(a,b)和方程bx+(a%b)y = gcd(b,a%b)同解。
    证明:(x,y) = (x',y') 其中(x,y)为ax+by=gcd(a,b)的解,(x',y')为bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)的解。
    因为:gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
    所以:ax+by=bx'+(a%b)y'=bx'+(a- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor)
    ax
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