信号与系统_笔记

信号的时域分析

基本信号（普通）

正弦信号： $x(t)= Asin(w_0t+j)$ ，周期为： $T_0=\frac{2π}{|w0|}$
实指数信号 $x(t) = Ae^{\alpha t}$
虚指数信号 $x(t)=e^{jw_0t} =\cos w_0t+j\sin w_0t$ ，周期为： $T_0=\frac{2π}{|w0|}$
复指数信号 $x(t) = Ae^{st}$ , $s = \sigma+ j w_0$

基本信号（奇异）

单位阶跃信号 $u(t)$ ，t大于0时为1，其它为0
单位冲激信号 $\delta(t)$ ，t为0时为1，其它为0
单位斜坡信号 $r(t)$ ，t大于0时为t，其它为0
单位冲激偶信号 $\delta'(t)$

微分关系： $r(t)->u(t)->\delta(t)->\delta'(t)$

Euler公式
$\cos(wt)=\frac1 2(e^{jwt} +e^{-jwt})$

$\sin(wt)=\frac1{2j}(e^{jwt} -e^{-jwt})$

欧拉公式的通用写法： $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

欧拉公式

连续时间信号的基本运算

翻转、尺度变换(压缩/扩展)、时移、相加、相乘、微分、积分

离散时间信号的基本运算

翻转、位移、抽取与内插、序列相加、序列相乘、差分、求和

信号分解

直流分量与交流分量
奇分量与偶分量
实部分量与虚部分量
$\delta$ 信号的线性组合 $x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\sigma(t-\tau)\, d\tau$

3. 系统的时域分析

连续信号可表示为： $x(t)=\lim_{\Delta t->0} \sum ^{+ \infty}_{n=-\infty}x(n\Delta \tau)\delta(t-n\Delta \tau) \Delta \tau$

离散信号可表示为： $x[k]=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}x[n]\delta[k-n]$

线性非时变系统的时域描述

连续时间LTI系统一般用线性常系数微分方程描述，即 $y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+...+a_1 y'(t)+a_0y(t) =b_m x^{(m)}(t)+b_{m-1}) x^{(m-1)}(t)+...+b_1x'(t)+b_0x(t)$

连续LTI系统具有线性特性和非时变特性，因此具有: 微分特性和积分特性

基于求解常系数线性微分方程的方法和基于零输入响应和零状态响应的方法

$系统响应y(t) =零输入响应y_{zi}(t)+零状态响应y_{zs}(t)$

零输入响应 $y_{zi}(t)$ ：求解齐次微分方程

零状态响应 $y_{zs}(t)$ ： $y_{zs}(t) = x(t)*h(t)$

零状态响应
$y_{zs}(t) = x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)\, d\tau$
，为卷积

3.6冲激响应表示的系统特性

系统不同则其冲激响应 $h(t)$ 也不同，利用 $h(t)$ 表示连续系统的时域特性。

无失真传输系统：输入 $\delta(t)$ ；冲击响应： $h(t)=K\delta(t-t_d)$

系统级联：卷积运算 $h_1(t)*h_2(t)$

系统并联：相加

matlab卷积操作

[x,Fs] = audioread('14_3704_20170819224519.wav');
ts=0;te=30;dt=0.01; sys=tf([2],[1 3 2]); tk=ts:dt:te; xk=sin(t)+sin(20*t); h=lsim(sys,xk,t);
convR=conv(x,h);
h=[1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1];
player=audioplayer(convR,Fs)；
player=audioplayer(convH,Fs);player.play；
figure;plot((1:length(convH))/Fs, convH);
deconvX=deconv(convH,h);

5. 系统的频域分析

频率响应 $H(jw)$ 与冲激响应 $h(t)$ 的关系：
$H(jw)=\frac{Y_{zs} (jw)}{X(jw)}=\frac{\mathscr{F}[h(t)]}{\mathscr{F}\delta(t)}=\mathscr{F}[h(t)]$

$H(jw)=\mathscr{F}[h(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-jwt}\, dt$

频率为 $w$ 的虚指数信号 $e^{jwt}$ 通过连续LTI系统的响应仍为同频率的虚指数信号。信号的改变由 $H(jw)$ 确定。

$H(jw)$ 反映了连续系统对不同频率虚指数信号的传输特性，可理解为滤波。系统对于信号的影响：时域卷积，频域乘。

image-20201019234755123.png

y_{zs}(t)=x(t)*h(t)\\ Y_{zs}(jw)=Z(jw)\cdot H(jw)