【高数笔记】矩阵的相似对角化

矩阵A的每个特征值都对应有一个线性无关特征向量时，矩阵A就可以相似对角化

特征值可以是多重的，可以是零或多重的零，但一定要每个特征值对应一个线性无关的特征向量

设n阶矩阵A有特征值 $\lambda _{1} 、\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$ ，对应n个线性无关特征向量 $\alpha _{1} 、\alpha _{2}\dots \alpha _{n}$

令 $P=\begin{bmatrix} \alpha _{1} & \alpha _{2} & \dots &\alpha _{n} \end{bmatrix}$ ,左乘A

$AP=\begin{bmatrix} A \alpha _{1} & A\alpha _{2} & \dots &A\alpha _{n} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} \lambda _{1} \alpha _{1} & \lambda _{2}\alpha _{2} & \dots &\lambda _{n}\alpha _{n} \end{bmatrix}$

$=P\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & \dots & 0\\ 0& \lambda _{2} & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0& 0 & \dots &\lambda _{n} \end{bmatrix}=P\Lambda$

则 $P^{-1} AP=\Lambda$

对于实对称矩阵，存在正交矩阵Q,使得 $Q^{-1} AQ=Q^{T} AQ=\Lambda$

但一般矩阵没有这个性质，要老老实实求逆