进位数制

1、进位计数制表示

在采用进位计数的数字系统中，如果只用r个基本符号表示数值，则称其为r进制(Radix-r Number System)，r称为改数制的基数(Radix)，不同的数制的共同特点如下：
（1）每一种数制都用固定的符号集。例如，十进制数制的基本符号有十个：0,1,2,···，9。二进制的基本符号有两个：0和1。
（2）每一种数制都是用位置表示法。即处于不同位置的数符所代表的的值不同，与他所在位置的权值有关。（负次方计算:10⁻²=（1/10）²=1/100）。
例如，
十进制数12345可表示为：
12345.6=1x10⁴+2x10³+3x10²+4x10¹+5x10⁰+6x10⁻¹
十六进制数123AB可表示为：
123AB.C=1x16⁴+2x16³+3x16²+10x16¹+11x16⁰+12x16⁻¹

计算机中常用的进位数制有二进制、八进制、十进制和十六进制，如下：

1.png

1. 二进制：0b或0B开头表示一个二进制数
   例如：0b1001 的十进制为 9

2. 八进制：0开头表示一个八进制数
   例如：070 的十进制为 56

3. 十六进制：0x或0X开头表示一个十六进制数
   例如：0xA1的十进制为 161

2、进位计数制转换

• 1、十进制转换为r进制
  将十进制数转换r进制时，整数部分与小数部分分别转换，然后再合并。十进制整数转换为r进制整数的方式是“除r取余”：十进制小数转为r进制小时的方法是“乘r取整”。

例如，把十进制175.71875转换为相应的二进制数。

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因此，175.71875₁₀=10101111.10111₂
同理，175.71875₁₀=257.56₈

• 2、r进制转十进制
  按权值从高到底依次取各项的系数就可得到相应的十进制数。例如，
  1x2⁷+0x2⁶+1x2⁵+0x2⁴+1x2³+1x2²+1x2¹+1x2⁰+1x2⁻¹+0x2⁻²+1x2⁻³+1x2⁻⁴+1x2⁻⁵=175.71875₁₀
  2x8²+5x8¹+7x8⁰+5x8⁻¹+6x8⁻²=175.71875₁₀

• 3、二进制转r进制
  转为八进制：3位二进制分成一组（不足3位时在小数点左边时左边补0，在小数点右边右边补0），然后写出每一组的等值八进制数，顺序排列起来就得到所要求的八进制数。
  例如，将二进制10101111.10111转换为相对应的八进制数。
  10101111.10111₂=010 101 111.101 110₂=257.56₈

  转为十六进制：4位二进制分成一组（不足4位时在小数点左边时左边补0，在小数点右边右边补0），然后写出每一组的等值十六进制数，顺序排列起来就得到所要求的十六进制数。
  例如，将二进制10101111.10111转换为相对应的十六进制数。
  10101111.10111₂=1010 1111.1011 1000=AF.B8₁₀

3、二进制运算

• 1、加法：二进制加法的进位规则是“逢二进一”
  0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=0（有进位）
  例如，101₂+100₂=1001₂
• 2、减法：二进制加法的进位规则是“借一当二”
  0-0=0 1-0=1 1-1=0 0-1=1（有借位）
  例如，1001₂-101₂=100₂
• 3、乘法：
  0x0=0 1x0=0 0x1=0 1x1=1
  例如，101₂x100₂= 10100₂