不得不说，动态规划一直以来就是我的弱项，所以解决一个动态规划的问题都得记录一下！

1. 概览

  在展示思路之前，还是先来看看题。

(1).题意

给出三个字符串:s1、s2、s3，判断s3是否由s1和s2交叉构成。

(2). 样例

比如 s1 = "aabcc" s2 = "dbbca"

    - 当 s3 = "aadbbcbcac"，返回  true.

    - 当 s3 = "aadbbbaccc"， 返回 false.

(3).挑战

要求时间复杂度为O(n^2)或者更好

2.解题思路

  这个题一看题意就知道用动态规划的方法来解决。求解动态规划的题，关键是在于推出动态规划的方程。
  这里我先贴出动态规划的方程，然后在解释它的意思：

dp[i][j] = (s1.charAt(i - 1) == s3.charAt(i + j - 1) && dp[i - 1][j]) ||(s2.charAt(j - 1) == s3.charAt(i + j -1) && dp[i][j - 1]);

  其中dp数组就是方程需要填的表。记录的是s1字符串的字符和s2的字符是否符合要求，如果符合，为true，否则为false。例如,dp[i][j]，表示的意思就是说，如果s3的前i + j个字符由s1的前i个字符和s2的前j个字符组成的话，就为true，反之为false。
  其次再来解释一下上面方程的意思(其实这个方程非常好理解)。我们将i换成s1.length, j换成s2.length,方程就变成了

dp[s1.length()][s2.length()] = (s1.charAt(s1.length() - 1) == s3.charAt(s1.length() + s2.length() - 1) && dp[s1.length() - 1][s2.length()])||(s2.charAt(s2.length() - 1) == s3.charAt(s1.length() +s2.length() -1) && dp[s1.length()][s2.length() - 1])

  从上面变换的方程中，我们可以看出，要使dp[s1.length()][s2.length()] = true。要么使s3的最后一个字符等于s1的最后一个字符，并且s1前length - 1个字符都在s3中，也就是说dp[i - 1][j] = true；要么使s3的最后一个字符等于s2的最后一个字符，并且s2前length - 1个字符都在s3中，也就是说dp[i][j - 1] = true。如果能理解这个东西，就很好的理解之前使用ij表示的动态规划方程。

3.代码

    public boolean isInterleave(String s1, String s2, String s3) {
        // write your code here
        if(s3.length() != s1.length() + s2.length()) {
            return false;
        }
        if(s1.equals("") && s2.equals(s3)) {
            return true;
        }
        if(s2.equals("") && s1.equals(s3)) {
            return true;
        }
        boolean [][]dp = new boolean[s1.length() + 1][s2.length() + 1];
        //边界条件
        dp[0][0] = true;
        
        //初始化dp[i][0]
        for(int i = 1; i <= s1.length(); i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] && s1.charAt(i - 1) == s3.charAt(i - 1);
        }
        //初始化dp[0][i]
        for(int i = 1; i <= s2.length() ; i++) {
            dp[0][i - 1] = dp[0][i - 1] && s2.charAt(i - 1) == s3.charAt(i - 1);
        }
        for(int i = 1; i <= s1.length(); i++) {
            for(int j = 1; j <= s2.length(); j++) {
                dp[i][j] = (s1.charAt(i - 1) == s3.charAt(i + j - 1) && dp[i - 1][j]) ||(s2.charAt(j - 1) == s3.charAt(i + j -1) && dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[s1.length()][s2.length()];
    }

  我们从代码中，看到了一些情况。在正式使用动态规划方程之前，我们必须初始化dp[i][0]和dp[0][i]这种情况，因为下面循环是从i = 1和 j = 1开始的，至于为什么dp[i][0] = true和dp[0][i] = true，非常容易理解，与之前写的方程理解类似