重积分速成教案

一、积分计算复习

1. 核心公式回顾

定积分基本公式： $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ （其中 $F'(x)=f(x)$ ）
常用积分表（必记）：
- 幂函数： $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ （ $n\neq-1$ ）
- 三角函数：
  - $\int \sin x dx=-\cos x+C$ ， $\int \cos x dx=\sin x+C$
  - $\int \tan x dx=-\ln|\cos x| + C$ ， $\int \cot x dx=\ln|\sin x| + C$
  - $\int \sec x dx=\ln|\sec x + \tan x| + C$ ， $\int \csc x dx=\ln|\csc x - \cot x| + C$
- 指数与对数函数：
  - $\int e^x dx=e^x+C$ ， $\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ （ $a>0,a\neq1$ ）
  - $\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$ ， $\int \ln x dx=x\ln x - x + C$
- 反三角函数：
  - $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx=\arcsin x + C$ ， $\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}dx=\arccos x + C$
  - $\int \frac{1}{1 + x^2}dx=\arctan x + C$ ， $\int \frac{-1}{1 + x^2}dx=\text{arccot }x + C$
- 其他常用公式：
  - $\int \frac{1}{x^2 + a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$
  - $\int \frac{1}{x^2 - a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x - a}{x + a}|+C$ （ $x^2>a^2$ ）
  - $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$
  - $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}|+C$
  - 分部积分公式（二重积分计算中常用）： $\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}x=uv\big|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}v\mathrm{d}u\mathrm{d}x$

2. 关键计算方法

直接积分：直接套用公式（如 $\int (3x^2+2)dx=x^3+2x+C$ ）
换元法（重点）：换元后，原本复杂、不熟悉的积分形式，变成了我们熟悉的、能用现有公式解决的形式，大大降低了积分的难度。
- 凑微分： $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$
  
  例： $\int \sin 2x dx=\frac{1}{2}\int \sin 2x d(2x)=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$

分部积分（简单了解）：设函数 $u = x$ ， $dv = e^x dx$ ，根据分部积分公式 $\int_{a}^{b} u dv = uv|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v du$ ，可得 $\int_{a}^{b} x e^x dx = [xe^x]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} e^x dx = (be^b - ae^a) - (e^b - e^a) = (b - 1)e^b-(a - 1)e^a$

3. 基础例题

计算： $\int_0^2 (x+1)dx$

解： $\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|_0^2=(2+2)-0=4$

1. 计算： $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(3x)dx$

解： $\frac{1}{3}\int \cos(3x)d(3x)=\frac{1}{3}\sin(3x)+C$

4. 即时练习

$\int_0^1 (2x^3)dx=$ ？（答案： $\frac{1}{2}$ ）
$\int e^{2x}dx=$ ？（答案： $\frac{1}{2}e^{2x}+C$ ）

二、二重积分的计算

1. 基本概念

几何意义：曲顶柱体的体积（ $z=f(x,y)\geq0$ 时）。在计算曲顶柱体体积过程中， $dxdy$ 表示在 $xOy$ 平面上划分出的微小矩形区域的面积元素，通过对无数个这样的微小区域上的 “薄片” 体积（ $f(x,y)dxdy$ ）进行累加，从而得到整个曲顶柱体的体积。
核心思想：将二重积分转化为两次定积分（累次积分）。在累次积分计算时， $dxdy$ 体现了积分区域的细分方式，先对 $y$ 积分时， $dy$ 表示沿着 $y$ 方向对区域细分，再对 $x$ 积分时， $dx$ 表示沿着 $x$ 方向对区域细分，二者结合实现对平面区域的全面覆盖。

2. 直角坐标系计算（重点）

适用区域：矩形、三角形等多边形区域
计算步骤：

确定积分区域 $D$ 的范围（画草图！）
化为累次积分：

X 型区域（先 $y$ 后 $x$ ）： $\iint_D f(x,y)dxdy=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$
Y 型区域（先 $x$ 后 $y$ ）： $\iint_D f(x,y)dxdy=\int_{y_1}^{y_2}dy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$

原理补充：以柱体体积为例，假设柱体的底面为积分区域 $D$ ，顶面高度由函数 $z = f(x, y)$ 确定。根据积分的本质 —— 分割、近似、求和、取极限，我们可以将底面 $D$ 分割成无数个微小区域，每个微小区域近似看作一个小矩形。对于每个小矩形，其对应的微小柱体体积近似为底面面积乘以高度，即 $f(x,y)dxdy$ 。而整个柱体的体积就等于所有这些微小柱体体积的和。

当我们计算重积分时，把积分区域 $D$ 按 $X$ 型或 $Y$ 型划分，就像切蛋糕一样，先沿着一个方向（比如竖着切），把它切成无数条 “薄片”。我们先固定住一个变量（比如 $x$ ），算这些 “薄片” 的面积，这就好比把每一条 “薄片” 的宽度都加起来，得到每一条 “薄片” 的大小。然后，我们再把这些 “薄片” 沿着另一个方向（比如横着）摞起来，也就是对另一个变量（ $x$ ）积分，这样就能算出整个 “蛋糕” 的体积啦。

这就是为什么在重积分计算里，我们能把二重积分拆成两次积分来算，其实就是一步一步把这个空间物体的体积给算出来。

判断上下限的秘诀：

X 型区域：在草图上画一条垂直于 x 轴的直线，从下往上穿过积分区域 $D$ ，先碰到的边界曲线为 $y = y_1(x)$ （下限），后离开的边界曲线为 $y = y_2(x)$ （上限）；x 的范围则是直线在积分区域内移动时，x 坐标的最小值 $x_1$ 到最大值 $x_2$ 。
Y 型区域：画一条平行于 x 轴的直线，从左往右穿过积分区域 $D$ ，先碰到的边界曲线为 $x = x_1(y)$ （下限），后离开的边界曲线为 $x = x_2(y)$ （上限）；y 的范围是直线在积分区域内移动时，y 坐标的最小值 $y_1$ 到最大值 $y_2$ 。

确定积分顺序的建议：

若积分区域的边界曲线用 $y$ 关于 $x$ 的表达式 $y = y(x)$ 更容易表示，且 $x$ 的取值范围明确，优先选择 ** 先 $y$ 后 $x$ ** 的积分顺序（X 型区域）。例如，对于由 $y = x^2$ ， $y = 2x$ 所围成的区域， $x$ 的取值范围是 $0\leq x\leq 2$ ，此时二重积分可表示为 $\int_{0}^{2}dx\int_{x^2}^{2x} f(x,y)dy$ 。
若积分区域的边界曲线用 $x$ 关于 $y$ 的表达式 $x = x(y)$ 更简单，且 $y$ 的取值范围清晰，优先选择 ** 先 $x$ 后 $y$ ** 的积分顺序（Y 型区域）。比如，对于由 $x = \sqrt{y}$ ， $x = y - 2$ 所围成的区域， $y$ 的取值范围是 $0\leq y\leq 4$ ，对应的二重积分是 $\int_{0}^{4}dy\int_{y - 2}^{\sqrt{y}} f(x,y)dx$ 。

例题 1：

计算 $\iint_D (x+y)dxdy$ ，其中 $D$ 是由 $x=0$ ， $y=0$ ， $x=1$ ， $y=1$ 围成的正方形。

解：

区域 $D$ ： $0\leq x\leq1$ ， $0\leq y\leq1$ （X 型）
原式 $=\int_0^1 dx\int_0^1 (x+y)dy$

先算内层积分： $\int_0^1 (x+y)dy=\left.\left(xy+\frac{y^2}{2}\right)\right|_0^1=x+\frac{1}{2}$

再算外层积分： $\int_0^1 (x+\frac{1}{2})dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}\right)\right|_0^1=1$

3. 极坐标系计算（重点）

适用场景：圆形区域（如 $x^2+y^2\leq R^2$ ）或被积函数含 $x^2+y^2$
转换公式：
- $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$
- 面积元素： $dxdy=rdrd\theta$
- 积分公式： $\iint_D f(x,y)dxdy=\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot rdr$
换元原理补充：从直角坐标系 $(x,y)$ 转换到极坐标系 $(r,\theta)$ ，本质上是对坐标的一种变换。根据多元函数的换元法则（雅克比行列式理论），在坐标变换 $x = x(r,\theta)$ ， $y = y(r,\theta)$ 下，面积元素的变换关系为 $dxdy = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|drd\theta$ 。对于极坐标变换 $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ ，计算其雅克比行列式 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$ ，所以得到 $dxdy=rdrd\theta$ 。理解换元原理有助于在更复杂的坐标变换中推导正确的积分表达式，同时也能加深对重积分计算的本质认知。

例题 2：

计算 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy$ ，其中 $D$ 是 $x^2+y^2\leq4$ （圆心在原点，半径 2 的圆）。

解：

极坐标下 $D$ ： $0\leq\theta\leq2\pi$ ， $0\leq r\leq2$
原式 $=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 r\cdot rdr$ （因 $\sqrt{x^2+y^2}=r$ ）

先算内层： $\int_0^2 r^2 dr=\left.\frac{r^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}$

再算外层： $\int_0^{2\pi} \frac{8}{3}d\theta=\frac{8}{3}\cdot2\pi=\frac{16\pi}{3}$

4. 练习

计算 $\iint_D xydxdy$ ， $D$ ： $0\leq x\leq1$ ， $0\leq y\leq2$ （答案：1）
计算 $\iint_D (x^2+y^2)dxdy$ ， $D$ ： $x^2+y^2\leq1$ （答案： $\frac{\pi}{2}$ ）

三、三重积分的计算

1. 基本概念

物理意义：空间物体的质量（密度为 $f(x,y,z)$ 时， $m=\iiint_\Omega f(x,y,z)dv$ ）
核心思想：转化为三次定积分

2. 直角坐标系计算（先一后二法）

适用区域：长方体、棱柱等
步骤：

将空间区域 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 面得区域 $D$
积分公式： $\iiint_\Omega fdv=\iint_D dxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$

思考与拓展

同学们，我们学习了 "先 1 后二" 的重积分计算方法，那是否存在 "先二后一" 的计算思路呢？实际上是有的！"先二后一" 是将空间区域先沿着某一坐标轴（例如 $z$ 轴）进行 “切片”，对每个切片区域计算二重积分，再对切片厚度进行积分。

那什么时候用 "先 1 后二" 更合适呢？当空间区域 $\Omega$ 在某坐标面（如 $xOy$ 面）上的投影区域 $D$ 形状简单，且被积函数对单变量积分相对容易时，"先 1 后二" 法就非常适用。例如区域 $\Omega$ 是棱柱体，其在坐标面投影为规则多边形，用这种方法可以有效简化计算过程。

例题 3：

计算 $\iiint_\Omega z dv$ ，其中 $\Omega$ 是由 $z=0$ ， $z=1$ ， $x^2+y^2\leq1$ 围成的圆柱体。

解：

投影区域 $D$ ： $x^2+y^2\leq1$ （圆）
原式 $=\iint_D dxdy\int_0^1 z dz$

先算最内层： $\int_0^1 z dz=\frac{1}{2}$

再算二重积分： $\iint_D \frac{1}{2}dxdy=\frac{1}{2}\times$ 圆面积 $=\frac{1}{2}\times\pi\times1^2=\frac{\pi}{2}$

3. 柱坐标系计算（重点）

适用场景：圆柱、圆锥等旋转体（含 $x^2+y^2$ ）
转换公式：
- $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ ， $z=z$
- 体积元素： $dv=rdrd\theta dz$
- 积分公式： $\iiint_\Omega fdv=\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}fdz$

例题 4：

计算 $\iiint_\Omega (x^2+y^2)dv$ ， $\Omega$ ： $0\leq z\leq1$ ， $x^2+y^2\leq1$ （同例题 3 的圆柱体）。

解：

柱坐标下 $x^2+y^2=r^2$ ， $\Omega$ ： $0\leq\theta\leq2\pi$ ， $0\leq r\leq1$ ， $0\leq z\leq1$
原式 $=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 rdr\int_0^1 r^2 dz$

内层对 $z$ 积分： $\int_0^1 r^2 dz=r^2$

中层对 $r$ 积分： $\int_0^1 r\cdot r^2 dr=\int_0^1 r^3 dr=\frac{1}{4}$

外层对 $\theta$ 积分： $\int_0^{2\pi} \frac{1}{4}d\theta=\frac{\pi}{2}$

4. 球坐标系简介

适用场景：球体（含 $x^2+y^2+z^2$ ）
转换公式： $x=r\sin\phi\cos\theta$ ， $y=r\sin\phi\sin\theta$ ， $z=r\cos\phi$ ， $dv=r^2\sin\phi drd\phi d\theta$

例题解析

题目：计算三重积分 $\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) dV$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 所围成的闭区域。

解答：

根据球坐标转换公式，积分区域 $\Omega$ 可表示为： $0\leq r\leq 2$ ， $0\leq \phi\leq \pi$ ， $0\leq \theta\leq 2\pi$ ，且 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ ， $dv=r^2\sin\phi drd\phi d\theta$ 。
原积分转化为：

$\begin{align*} \iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) dV&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}\sin\phi d\phi\int_{0}^{2}r^2\cdot r^2 dr\\ &=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}\sin\phi d\phi\int_{0}^{2}r^4 dr\\ &= 2\pi\times(-\cos\phi)\big|_{0}^{\pi}\times\frac{1}{5}r^5\big|_{0}^{2}\\ &= 2\pi\times(1 - (-1))\times\frac{32}{5}\\ &=\frac{128\pi}{5} \end{align*}$

题目：求球体 $\Omega: x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$ 的质量，已知球体的密度函数为 $\rho(x,y,z) = x^2 + y^2$ 。

解答：

球坐标下， $\Omega$ 表示为： $0\leq r\leq 1$ ， $0\leq \phi\leq \pi$ ， $0\leq \theta\leq 2\pi$ ，且 $x^2 + y^2 = r^2\sin^2\phi$ ， $dv=r^2\sin\phi drd\phi d\theta$ 。
质量 $M=\iiint_{\Omega}\rho(x,y,z)dV$ ，原积分转化为：

$\begin{align*} M&=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}\sin^3\phi d\phi\int_{0}^{1}r^4 dr\\ &=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi}\sin\phi(1 - \cos^2\phi) d\phi\int_{0}^{1}r^4 dr\\ &= 2\pi\times\left(-\cos\phi + \frac{1}{3}\cos^3\phi\right)\big|_{0}^{\pi}\times\frac{1}{5}r^5\big|_{0}^{1}\\ &= 2\pi\times\left((1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})\right)\times\frac{1}{5}\\ &=\frac{8\pi}{15} \end{align*}$

5. 练习

计算 $\iiint_\Omega dv$ ， $\Omega$ ： $0\leq x\leq1$ ， $0\leq y\leq1$ ， $0\leq z\leq1$ （求正方体体积，答案：1）
计算 $\iiint_\Omega x dv$ ， $\Omega$ ： $x^2+y^2+z^2\leq1$ （因对称，答案：0）

四、重积分的实际应用

1. 求体积

二重积分：曲顶柱体体积 $V=\iint_D f(x,y)dxdy$ （ $z=f(x,y)$ 为顶面）
三重积分：空间立体体积 $V=\iiint_\Omega dv$

例题 5：

求由 $z=x^2+y^2$ （抛物面）和 $z=4$ 围成的体积。

解：

两曲面交线： $x^2+y^2=4$ （投影区域 $D$ ）
体积 $V=\iint_D (4-(x^2+y^2))dxdy$ （用极坐标）

$=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2 (4-r^2)rdr=2\pi\int_0^2 (4r-r^3)dr=8\pi$

2. 求质量

平面薄片质量： $m=\iint_D \rho(x,y)dxdy$ （ $\rho$ 为面密度）
空间物体质量： $m=\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dv$ （ $\rho$ 为体密度）

例题 6：

半径为 $a$ 的均匀圆片（面密度 $\rho=k$ ），求质量。

解：

$m=\iint_D k dxdy=k\times$ 圆面积 $=k\cdot\pi a^2$

求重心和质心的方法

在重积分的应用中，求平面薄片或空间物体的重心与质心是重要内容。设平面薄片占有 $xOy$ 平面上的闭区域 $D$ ，其面密度 $\rho(x,y)$ 在 $D$ 上连续，薄片质量为 $M$ 。

质量计算：通过二重积分可得 $M = \iint_D \rho(x,y)d\sigma$
重心坐标：重心 $(\overline{x},\overline{y})$ 的计算公式为

$\overline{x} = \frac{1}{M}\iint_D x\rho(x,y)d\sigma,\quad \overline{y} = \frac{1}{M}\iint_D y\rho(x,y)d\sigma$

对于空间物体，设其占有空间闭区域 $\varOmega$ ，体密度 $\rho(x,y,z)$ 连续，物体质量 $M = \iiint_{\varOmega} \rho(x,y,z)dv$ ，质心坐标 $(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$ 则为

$\overline{x} = \frac{1}{M}\iiint_{\varOmega} x\rho(x,y,z)dv,\quad \overline{y} = \frac{1}{M}\iiint_{\varOmega} y\rho(x,y,z)dv,\quad \overline{z} = \frac{1}{M}\iiint_{\varOmega} z\rho(x,y,z)dv$

若物体是均匀的，即密度为常数，此时重心（质心）坐标计算可简化为：

对于平面薄片， $M=\rho\iint_D d\sigma$ ，重心坐标为 $\overline{x} = \frac{\iint_D xd\sigma}{\iint_D d\sigma},\overline{y} = \frac{\iint_D yd\sigma}{\iint_D d\sigma}$ ；对于空间物体， $M=\rho\iiint_{\varOmega} dv$ ，质心坐标为 $\overline{x} = \frac{\iiint_{\varOmega} xdv}{\iiint_{\varOmega} dv},\overline{y} = \frac{\iiint_{\varOmega} ydv}{\iiint_{\varOmega} dv},\overline{z} = \frac{\iiint_{\varOmega} zdv}{\iiint_{\varOmega} dv}$ 。