一般极数的性质与特殊极数敛散性的判别方法

性质

§性质一（线性运算法则）：

若\sum_{n=1}^{\inf}u_n与\sum_{n=1}^{\inf}v_n均收敛，设\alpha,\beta为常数，则\sum_{n=1}^{\inf} (\alpha u_n+\beta v_n)收敛，且有：\sum_{n=1}^{\inf} (\alpha u_n+\beta v_n) = \alpha \sum_{n=1}^{\inf}u_n + \beta \sum_{n=1}^{\inf}v_n

§性质二：

一个级数若改变其前有限项的值或删去前有限项或在前添加有限项，得到的新级数与原级数具有相同的敛散性。

§性质三：

对收敛级数的顺次加和式通过添加括号得到的新级数与原级数具有相同的敛散性

§性质四(收敛的必要条件)：

若\sum_{n=1}^{\inf}u_n收敛，则\lim_{n=\inf} u_n = 0

正项级数判别法：

比较判别法：

设\sum_{n=1}^{\inf} u_n与\sum_{n=1}^{\inf }v_n均为正项级数且u_n \leq v_n (n=1,2,3,\cdots)

若(1)\sum_{n=1}^{\inf }v_n收敛则\sum_{n=1}^{\inf }u_n收敛，反之不成立

(2)\sum_{n=1}^{\inf }u_n发散则\sum_{n=1}^{\inf }v_n发散，反之不成立

(反例为：\sum_{n=1}^{\inf}\frac{1}{n^2}与调和级数\sum_{n=1}^{\inf} \frac{1}{n})

比较判别法极限形式：

设\sum_{n=1}^{\inf} u_n与\sum_{n=1}^{\inf} v_n为正项级数且\lim_{n=\inf}\frac{u_n}{v_n} = l,

(1)若0<l<+\inf，\sum_{n=1}^{\inf} u_n与\sum_{n=1}^{ \inf} v_n具有相同的敛散性

(2)若l = 0, \sum_{n=1}^{ \inf}v_n收敛则\sum_{n=1}^{\inf} u_n收敛

(3)若l =+\ \inf，\sum_{n=1}^{\inf} v_n发散则\sum_{n=1}^{\inf} u_n发散

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