分析3 函数极限与连续性

函数极限，在某个点的去心邻域内， $\epsilon-\delta$ 定义。
函数极限的性质：唯一性、局部保序性、局部有界性、夹逼性。
函数极限的四则运算。
Heine 定理，将函数极限转化为数列极限，常用于证明某个函数极限不存在。
单侧极限；极限存在的充要条件是左极限与右极限都存在且相等。
函数极限的 Cauchy 准则。
连续 = 极限存在且等于函数值。
三类不连续点：
- 第一类间断点（跳跃间断点）
- 第二类间断点（左右极限至少一个不存在）
- 第三类间断点（可去间断点）
Riemann 函数的所有有理点都是可去间断点，所有无理点都是连续点。
单调函数的不连续点都是第一类不连续点，从而单调函数至多有可列个不连续点。
一切初等函数在其定义域上连续。
常用等价量
- $\sin x\sim x, \ln(1+x) \sim x, e^x - 1 \sim x,(1+x)^\alpha\sim \alpha x \quad x\to 0$
连续的拓扑定义：开集的原像是开集（闭集的原像是闭集）。
连续映射将紧集映射为紧集。（从而闭区间上的连续函数的值域是有界闭集）
紧集上的连续函数是一致连续的。
连续函数将连通集映射为连通集。
一致连续的函数将柯西列映射成柯西列。