线性相关 - 简书

△行列式的概念

- 二元线性方程组、二阶行列式、行列式的元素或元、行标、列标、行列式的（i，j）元、对角线法则、主对角线、副对角线
- 凡是两元素之积减去两元素之积就可以写成行列式。
- 系数行列式、常数项替换系数行列式的某一列
- 三阶行列式：9个元素，三行三列，不同行不同列的三个元素积、6种样本、主对角线冠正号、副对角线冠负号
- 3个正的三数积加上3个负的三数积，符合三阶行列式。对角线法则只适合二阶三阶行列式，其余需要全排列。

全排列

- 排列、逆序数、n个不同元素排成一列
- 排列的种类数Pn = n!
- 标准次序：对于自然数来说，从小到大的排列次序为标准次序
- 逆序：元素的排列次序与标准次序不同
- 排列逆序数：逆序的总个数
- 奇排列：逆序个数为奇数。偶排列自然！

对换

- 对调排列其中任意两个元素，其余元素不变。相邻对换。
- 一旦排列对换，必然改变逆序奇偶
- 标准排列逆序数为0，一次对换逆序数加减1，自然奇排列对换成标准排列对换奇数次，偶数次排列对换成标准排列对换偶数次。

n阶行列式

- 三阶行列式各元素：行标都是标准次序123，列标是123的6中排列之一。列排列的逆序数t偶数取正号，列排列的逆序数t奇数取负号。
- det(aij)；其中aij为行列式D的i,j元
- 上三角行列式：主对角线下面的元素都是0；下三角行列式：主对角线上面的元素都是0；对角行列式：主对角线的上下元素都是0

转置行列式

- 原行列式为D，将D中每一个元素的行标列标互换就得到转置行列式D（T）

△△△△行列式的性质

- 原行列式与它的转置行列式相等
- ri<—> rj、ci<—> cj。对换行列式的两行（列），行列式变号。推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于0
- rik、rjk。行列式的某一行r（列c）中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以行列式。推论：行列式中的某一行r（列c）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
- 行列式中如果有两行r（列c）元素成比例，则此行列式等于0
- 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式可以写成两个行列式的和。
- ri+k*rj、ci+kcj。把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。可以简化很多行列式成0。

△△△应用行列式的性质

- 行列式的每一列（行）的和相等
- 行列式的一行一列的数据为1
- 行列式的首列相等
- 行列式的元素的上一行的列数累加。下行减上行
- D行列式是由4个小行列式类似正方形那样组成。其实也只是与左上角和右下角这两个小行列式有关。本质：对前n行作ri+krj处理，只对于列元素和不为0的地方管用。同理，如果对后n列作ci+kck处理，只对于所处理的这些列构成的矩形中行元素之和不为0的地方起作用。
- 利用D行列式 =  D1*D2，可以迭代累乘将大行列式变成n个小行列式的乘积。

余子式和代数余子式

- （i,j）元aij的余子式：n阶行列式，去掉aij元素所在的第i行和第j列之后，留下来的n-1阶行列式。
- 代数余子式Aij与余子式Mij要么相等要么互为相反数
- 一个n阶行列式，如果有那么一行，除了aij元素以外所有的元素都为0，那么这个行列式= aij(-1)^(i+j)Mij余子式 = aij* 代数余子式Aij。
- 行列式 = Σ （任一行（列）的每一个）元素*对应的代数余子式。行列式按行按列展开法则

范德蒙行列式

- n阶范德蒙行列式=所有可能差的乘积。列出行列式中所有的底数，大数减所有的小数，能减的都减，然后全部相乘
- 可以将所给行列式化为范德蒙德行列式，然后导结论
- 首行或者首列必须为1。所以要想使用范德蒙行列式结论，就必须凑成一行或一列全为1的形式，否则就没戏了
- 行与行之间或者是列与列之间必须成等比。所以一看到元素成等比关系就可以利用范德蒙行列式求解
- 行列式结论=各个元素差的乘积。所有计算结论元素差乘积的时候，那个元素差一定不能为0
- 差指的是（i,j）的大位置-小位置，不是元素本身
- 数学归纳法：知道n与n-1的关系。然后知道n=2的关系。自然知道n的关系。数学归纳不好理解，但是递推就很好理解。n与n-1的关系已知，自然知道n-1与n-2的关系，以此类推，自然意味着n-1可以最后变成与1的关系，最后我们再求一下n=1的情况，自然递推成功，归纳总结。
- 全体同类因子的乘积。∏（n≥i≥j≥1）

△△△应用行列式按行（列）展开定理计算行列式

- 低阶行列式来表示高阶行列式，这样计算更简便
- 首先是aj1Aj1+aj2Aj2+···+ajnAjn = D。然后把D的第j行的各个元素变成第j行的个个元素，那么这个时候ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAin = D依然成立，只是这时候因为i行和j行相等，自然变成D=0。上面是按行展开，同时将被展开行扔掉，替换成重复的一行，得到的新行列式自然为0。这不是关键，关键是找到了一个非展开行和展开行元素代数余子式之间的数学关系。
- 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。对于按列张开：Σ（k=1~n）akiAkj = D（当i=j）/0（当i≠j）  。按行展开：Σ（k=1~n）aikAjk = D（当i=j）/0（当i≠j） 
- 已知系数与代数余子式相乘的加法，就可以根据这个加法的系数找到对应的行列式。思维的关键：随时考虑将某一行或某一列看成是余子式的系数。

△△矩阵的概念

- 本质m行n列的矩形数表。简称m*n矩阵。
- 总共m*n个数。aij表示其中一个。
- 行列相等的矩阵 = n阶矩阵或n阶方阵An.
- 行矩阵 = 只有一行的矩阵 = 行向量；列矩阵 = 只有一列的矩阵 = 列向量
- 矩阵A与矩阵B的行列相等 + 矩阵A与矩阵B对应的元素也相等 = 矩阵A与矩阵B的元素一一映射相等 = 矩阵A与矩阵B相同
- 元素都为0的矩阵称为0矩阵。但是不同型的零矩阵是不一样的。例如：3阶段方阵、列矩阵。
- 系数矩阵：A=（aij）；未知数矩阵=n个未知数的列矩阵；常数项矩阵 = m个系数的列矩阵；增广矩阵 = 方程组的所有系数和常数构成的矩阵
- 一个对象多个属性；一个点多种搭配都可以用矩阵来表示
- 奇异矩阵：矩阵A的行列式值|A| = 0

△单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质

- 单位矩阵E：方阵对角线上的元素都是1。即i=j时，aij = 1,当i≠j时，aij = 0。n阶单位矩阵为E。
- 纯量矩阵λE：方阵对角线上的元素都是同一个常数λ。(λE)A = A(λE) = λA。当A为n阶方阵时，（λEn)An=λAn=An(λEn)，纯量阵λE与任何同阶方阵都是可交换的。
- 对角矩阵（对角阵）：方阵正对角线以外的元素都是0。也可以写成diag(λ1、λ2，······λn)。如果λ1=λ2=····=λn=1即方阵的正对角线的元素都为1时的线性变换也叫做恒等变换。容易理解，一个变量与另一个变量的关系是一倍关系，不是恒等变换是什么呢？
- 三角矩阵：上三角矩阵、下三角矩阵

△对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质

- 对称矩阵：A^T=A，则A是对称矩阵，简称对称阵。正对角线为对称轴！
- 反对称阵：A^T = A，副对角线为对称轴
- 正交矩阵：行列相等、QQ^T = Q^TQ = I

△△△△矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律

- n个未知数，m个方程。aij表示第i个方程第j个未知数的系数。bi是第i个方程的常数项。如果bi全都是0，方程组就叫做n元齐次线性方程。如果bi不全为0，这些线性方程构成的方程组就叫做n元（未知数）非齐次线性方程。常数项一样就齐，常数项不一样就不齐。
- 零解：方程组解出来的n个变量全为0。非零解：n个变量不全为0。
- 矩阵与矩阵相加：A（aij）+B(bij)。1、AB两个矩阵类型相同；2、两个矩阵相加满足交换率；3、三个矩阵相加满足结合率；4、两个矩阵相减 = 一个矩阵加另一个矩阵的负矩阵；5、矩阵的加法是针对矩阵的米一个元素而言的
- 数λ与矩阵A相乘.1、λA = Aλ；2、(λμ)A = λ(μA)；3、(λ+μ)A = λA+μA；4、λ（A+B）= λA+λB；5、矩阵与矩阵的加法和数λ与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算。
- 转置矩阵A^T：1、行换成同序数的列；2、矩阵转置两次就相当于原矩阵；3、A+B矩阵和的转置 = A的转置+B的转置；4、（λA）^T = λA^T；5、AB矩阵积的转置 = B^TA^T两个转置矩阵的积；
- 矩阵A与矩阵B相乘。1、矩阵与矩阵相乘 = 线性变化中的一级变量（x与y）的系数矩阵 * 二级变量（t与x）的系数矩阵 = 二级变量的新线性变换矩阵（t与y）。2、A矩阵的列数和B矩阵的行数必须相等才能进行相乘的操作。3、A矩阵与B矩阵相乘得到C矩阵，一个决定行数一个决定列数。4、所以判断两个矩阵是否能够相乘，最好的办法就是把其中一个转置90°，判断行数或者列数是否相等。5、矩阵的乘法必须注意先后顺序，乘积AB有意义时可能BA没有意义。只有A和B的类型转置的情况下，左乘右乘才都有意义，例如A是mn矩阵，B是nm矩阵。总之，矩阵的乘法不满足交换律。6、左乘和右乘都有意义，并不表示左乘和右乘一定相等。可能只是矩阵的类型相同而已罢了。7、矩阵的乘积AB=0矩阵并不能得出A=0矩阵或B=0矩阵的结论；总之就是矩阵乘积为0矩阵可能是两个非0矩阵相乘之后抵消造成的，积矩阵为0跟因子矩阵是否为0一丁点关系也没有。8、矩阵乘积不满足交换律，但仍满足结合律和分配律。（AB)C=A(BC)、λ(AB)=(λA)B=A(λB)、A(B+C)=AB+AC、(B+C)A = BA+CA。9、EmAmn=Amn、AmnEn=Amn，单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1

△方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

- 方阵的幂：1、角度为θ的三角函数矩阵的线性变换相当于向量逆时针旋转θ角度；那么角度为θ的三角函数矩阵的n次方的线性变换就相当于角度为nθ的三角函数矩阵，即向量逆时针旋转nθ角度。2、矩阵的幂：A^k = k个A连乘。结合律：A^kA^l=A^(k+l),(A^k)^l=A^kl；不满足交换律：一般(AB)^k≠A^kB^k，只有A和B可交换时，等号才成立；同样的（A+B）^2=A^2+2AB+B^2、（A-B）(A+B)=A^2-B^2等公式也只有A和B可交换时才成立。
- 方阵的行列式det A或|A|：方阵A是n*n个数字按n行n列排列成的数表，数表中的这些数字按行列式运算法则确定的计算结果就是方阵的行列式
- λA和λ|A|差别极大，前者是常数和矩阵相乘，意味着矩阵里面的每一个元素都变成λ倍；后者是常数和行列式相乘，意味着行列式的某一行某一列有一个公因素λ；之间的关系就是|λA|=λ^n|A|
- AB  =  AB；AB矩阵积的行列式的值=A矩阵行列式值*B矩阵行列式值；对于n阶矩阵A、B，一般AB≠BA,但总有  AB  =  BA

△△逆矩阵的概念

- AB=BA=E,则A和B互为逆矩阵。A^(-1)=B，B^(-1)=A；

△△△△逆矩阵的性质

- 逆矩阵一定是唯一的；只有方阵才有资格进行逆矩阵的判断，毕竟逆矩阵必须满足左乘右乘都可以才行
- 若A可逆，则A的行列式值|A|≠0；
- A^(-1)=A/|A|，A的逆矩阵 = A的伴随矩阵A除以A的行列式|A|；
- 逆矩阵有点像倒数；可逆就是左乘又右乘都是E；
- 可逆矩阵A的转置矩阵A^T也可逆，并且转置的逆=逆的转置；
- λA可逆，则（λA）^(-1) = A^(-1)/λ
- AB可逆，则（AB）^(-1) = B^(-1)A^(-1)
- A^T可逆，(A^T)^(-1) = (A^(-1))^T
- A^0=E；A^(-k)=【A^(-1)】^k；A^λA^μ = A^(λ+μ)；(A^λ)^μ = A^(λμ)
- 矩阵A可逆，则矩阵A可以在等式中消去；毕竟矩阵等式两边同时乘以一个非零矩阵A^(-1)就可以证明
- 两个矩阵的乘积依然可逆
- 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵

△△△△矩阵可逆的充分必要条件

- A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0，即可逆矩阵一定是非奇异矩阵
- 齐次方程方程组AX=0仅仅有零解，则A一定可逆
- 单位矩阵一定是可逆的
- A矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积一定可逆

△△伴随矩阵A*的概念

- 矩阵中的各个元素都是他对应的代数余子式转置而来；
- 代数余子式本质是一个行列式数值，并非矩阵；
- 原矩阵A和伴随矩阵A‘的关系：AA’=A’A=|A|E

△△△用伴随矩阵求逆矩阵

- A^(-1)=A*/|A|

△矩阵的初等变换和初等矩阵及等价矩阵的概念

- 初等变换：1、交换行列；2、非0常数k乘某行某列；3、矩阵某行某列乘以k后加到另一行列
- 等价矩阵：存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则矩阵A等价与矩阵B，即A矩阵经过初等变换可得到B

△△矩阵的秩的概念

- 一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目
- 行秩是A的线性无关的横行的极大数目
- 如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数
- 矩阵的列秩和行秩。r(A)、rk(A）、rank(A)

△△△△用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法

- B = 【A|I】对B施行初等行变换变成【I|A^(-1)】

△分块矩阵的概念

- 若干条纵线和横线将矩阵分割成较小的矩阵，这些较小的矩阵就称为子块
- 分块对角方阵：1、大矩阵A是一个n阶方阵；2、对角线上全是非零方阵Ai；3、其余子块都是零矩阵0；4、|A| = |A1||A2|···|Ai|

△△△△分块矩阵的运算法则

- 行列数相同且分块规则相同。分块矩阵相加 = 矩阵对应元素相加
- 矩阵与常数相乘。矩阵里面的每一个元素都乘以常数λ
- 矩阵分块本质：把子块矩阵当成是新的矩阵元素。一个子块就是一个矩阵，就当成一个元素，元素运算即矩阵运算得到新的矩阵，然后以一个大矩阵的元素身份做一个小子块矩阵。
- 分块矩阵的转置。前面的实数元素转置很简单，现在矩阵子块元素转置。先把每一个子块矩阵当成元素一样进行转置，然后再对每一个小子块矩阵进行转置操作。
- 一个m*n的矩阵A分成n列：A = {a1，a2······an}；分成m行：A = {α1^T，α2^T·····αm^T}
- A矩阵*B矩阵 = C矩阵；可以先把A矩阵按行分成m子块，把B矩阵按列分成n子块；最后C矩阵 = A的m行1列的子块元素矩阵 * B的1行n列的子块元素矩阵
- aibj表示矩阵i行j列的实数元素；加粗的αi^Tbj表示矩阵的i行j列是一个子矩阵元素。带有^T表示行矩，不带有^T表示列矩阵。
- 证明A为0矩阵。

矩阵A与矩阵A^TA之间的关系

- A = 0，则A^TA = 0没毛病；关键A^TA = 0,推导出A = 0；

线性方程组之三种表示形式

- 方程组形式：Σ系数*自变量 = 常数项
- 实数元素矩阵乘积形式：Amxn * Xnx1 = Bmx1
- 子块元素矩阵乘积形式：系数子块列矩阵 * 变量列矩阵 = 常数项子块列矩阵。相当于把方程组形式的变量按一列一列的提取出来了。

矩阵初等变换

- 初等行变换r + 初等列变换c = 统称初等变换
- 原本解线性方程组是用消元法，十分麻烦，而采用矩阵初等行变换的方法就十分简单
- 初等变换最终是为了消元，始终把方程组看作一个整体，初等变换包括1、行与行互换（注意：不包括列与列，因为常数项列与系数项列本质不同）；2、某行左右同乘非0常数k（注意：依然不包含列）；3、i行先乘k后相加到j行（同样不含列）；这里的每一步操作都是可逆的。所以整个方程组都是等价转换。即经过初等变换后得到的方程组所求得的答案与未变换初等函数的答案相等。所以初等行变换 = 同解变换。
- 求逆矩阵
- 矩阵理论研究
- 初等行变换的矩阵与常数k相乘，等价于

矩阵等价

- 矩阵A与矩阵B行等价 = A经过有限次初等行变换变成矩阵B，即A^r ~  B；列等价，即A^c ~ B；等价，即A ~ B；
- A~A；若A ~ B，则B ~ A；若A ~ B，B ~ C，则A ~ C

行阶梯形矩阵B

- 每行0的个数越多，越下沉，自然全0行肯定是在矩阵的底部
- 非0行的第一个非0元素称为主元。当前行的主元必须要比上一行的主元更靠右
- 任何一个矩阵都可以通过有限步初等行变换变换成行阶梯形
- 如果每个非零行的主元都是1，况且所在列的其它元素都是0，这就是最最简单的行阶梯形矩阵，即行最简形矩阵。
- 本质上：解线性方程组就是利用初等行变换把增广矩阵化为行最简形矩阵。
- 行最简矩阵直接对应着线性方程组的最终解；同时方程组的最终解也可以确定行最简矩阵；而方程组的最终解一定是唯一的，自然行最简矩阵也是唯一的。

标准型矩阵F

- 对行最简形矩阵B再进行初等列变换
- m行n列矩阵的F左上角是一个r行r列的单位矩阵Er，其余元素全为0。r也就是矩阵F的非0行行数。

矩阵A的K阶子式

- mxn矩阵A中任取k行或k列，行列交叉处的k^2个元素构成的k阶段行列式
- K阶子式的个数：C(m,k)*C(n,k)
- 如果一个矩阵含有全为0的行，则矩阵必为0；所以对于含有全0行的矩阵来说，非零子式的最高阶数一定是小于原矩阵阶数的。
- 如果A矩阵与B矩阵是行等价。则A与B中的非零子式的最高阶数相等。
- 并不关心非零子式（行列式）本身，我们更关心它的阶数。尤其是所能达到的最高阶数。
- 如果设最高阶非0子式的阶数为r，那么所有r+1阶的非0子式全部等于0。这个非0子式的最高阶数r就是矩阵A的秩，简称R(A)。
- 矩阵的秩R(A)本质就是矩阵A的非0子式的最高阶。注意：0子式的秩R(A) = 0;
- k阶子式本质是一个行列式

△△矩阵的秩的概念

- 矩阵A中非0子式所能达到的最高阶r = R(A)
- 对于mxn的矩阵A，满足0≤R(A)≤min{m,n}
- n阶矩阵A，由于A的n阶子式只有一个|A|，当|A| ≠ 0时，R(A) = n；当|A| = 0时，R(A)< n；
- 可逆方阵的秩（方阵可逆的充分必要条件是|A| ≠ 0） = 矩阵的阶数；不可逆矩阵的秩序 < 矩阵的阶数
- 只要把矩阵变换成行阶梯形矩阵，一眼就能看出非0行数，这就是矩阵的秩。当然如果能一眼求出满秩成立，直接就R(A)=n了。如果n阶子式|A|=0，就面临两种选择了。1、继续列出n-1阶子式，算出有一个n-1阶子式的行列式值不为0，则确定了R(A) = n-1。2、对矩阵A初等变换，变成行阶梯形矩阵，计数非0行的行数

方阵可逆的变相说法

- 方阵的行列式不为0
- 方阵满秩，即R(A) = n；列满秩矩阵
- 方阵的转置矩阵可逆
- AA^T可逆
- 对于低阶方阵，通过伴随矩阵A*求逆矩阵还挺方便，一旦阶数变高，还是通过初等变换求逆矩阵更好用
- 不可逆矩阵 = 奇异矩阵 = 降秩矩阵

矩阵A和矩阵B等价

- 矩阵等价的充要条件1、R(A) = R(B) 同时A和B的行列相等（即同型）2、存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B，左乘右乘矩阵A，不改变A的秩，故r(A)= r(PAQ)=r(B)
- 矩阵A和B等价Vs矩阵A和矩阵B相似：1、若存在可逆阵P、Q，使PAQ=B，则称矩阵A与矩阵B等价；2、若存在可逆阵P，使P^(-1)AP=B，则称矩阵A与矩阵B相似；

矩阵的秩Vs线性方程组的解个数

- 如果矩阵有一行只有最后一列为非0项，则Ax = b无解

初等矩阵

- 把初等变换的过程用数学符号表示，这个数学符号就是初等方阵
- 初等方阵右乘A是对A进行行变换；初等方阵左乘A是对A进行列变换
- 矩阵可逆，就一定可以由有限次的初等变换而来，自然就一定可以表示成一系列初等矩阵的乘积

矩阵的秩的性质

- 秩的取值范围：R(A) ∈ 【0，min(m,n)】
- 矩阵的秩与换置矩阵的秩：R(A^T) = R(A)
- 等价矩阵的秩：A~B，则R(A) = R(B)
- 矩阵乘以初等矩阵后的秩：若P、Q可逆，则R(PAQ) = R(A)
- 矩阵A和矩阵B组合成矩阵C的秩：max{R(A)，R(B)} ≤ R(A，B) ≤ R(A) + R(B)。如果B = b为非0列向量时，R(A) ≤ R(A，b）≤ R(A) +1
- 矩阵A+矩阵B得到的矩阵C的秩：R(A+B) ≤ R(A) + R(B)
- 矩阵A*矩阵B得到的矩阵C的秩：R(AB) ≤ min{R(A)，R(B)}
- 矩阵A的秩+矩阵B的秩在A*B=0情况下所能达到的最大值：若AmxnBnxl = 0,则R(A) + R(B) ≤ n

秩的总结

- A是mxn矩阵，若R(A) = n，自然想到对A化简，变成行最简矩形

线性方程组的解的个数

- 把线性方程组解除的变量值用矩阵表示
- 如果矩阵中包含未知常数，则可以让把这个常数提出来，只不过提出来的变量值，不能是一个单独的变量值，而是一个变量值乘以一个矩阵，然后也不是与原来的变量矩阵相乘，而是相加
- 线性方程组解的个数Vs大小比较R(A)与R(A，b)

矩阵初等变换

- 初等行变换r + 初等列变换c = 统称初等变换
- 原本解线性方程组是用消元法，十分麻烦，而采用矩阵初等行变换的方法就十分简单
- 初等变换最终是为了消元，始终把方程组看作一个整体，初等变换包括1、行与行互换（注意：不包括列与列，因为常数项列与系数项列本质不同）；2、某行左右同乘非0常数k（注意：依然不包含列）；3、i行先乘k后相加到j行（同样不含列）；这里的每一步操作都是可逆的。所以整个方程组都是等价转换。即经过初等变换后得到的方程组所求得的答案与未变换初等函数的答案相等。所以初等行变换 = 同解变换。
- 求逆矩阵
- 矩阵理论研究
- 初等行变换的矩阵与常数k相乘，等价于

疑问

- 为什么把|A|行列式等于0的矩阵成为奇异矩阵呀，直接称0矩阵多直接呀，虽然直接，但是别人觉得要取4个字的名字才好听呀，于是起名为奇异矩阵。奇怪异常的矩阵，怎么行列式等于0就奇怪异常了呢？好神奇。
- (AB)^T = B^TA^T和(AB)^(-1) = A^(-1)B^(-1)这是巧合还是什么内在的联系？
- 取名字的人好搞笑？如果A^T=A就是说只有正对角线上有数值，然后转置之后矩阵居然还是原来的矩阵就是对称矩阵，当然前提是方阵。对称矩阵是相对于矩阵元素来说的， 现在把方阵的元素换成子块矩阵，按照惯例应该叫分块对称矩阵才对啊，却非要改成分块对角矩阵。难道对角比对称描述起来更加方便清楚。

总结

- 可逆矩阵本质上就是初等矩阵，自然任意矩阵乘以初等矩阵的乘积的秩保持不变。
- 矩阵的秩r=3,完全可能出现等于0的2阶段子式。
- A^2012：(A^2)^1006
- A可逆：左右同乘A^(-1)不变
- (A*)^(-1)=A/|A|
- AB=A-2B：（A+2E）(E-B)=2E
- B=(E+A)^(-1)(E-A)：(E+B)^(-1) = 2(E+A)^(-1)
- (A^2+A+E)^(-1)：(E-A)(E+A+A^2)(E-A^3) = E

△向量的概念

- n维单位向量组：n列n维；n行n维
- n维向量：包含n个变量的向量
- 全体解向量：线性方程组n个变量，一套解就是一个n维的向量，多个解就是多个n维向量，无数解就是无限个n维向量的向量组。
- 最高阶非0子式：一个r阶方阵。r列就是列向量组的最大线性无关组。r行就是行向量组的最大线性无关组。
- 向量B能用向量A线性表示：R(B) ≤ R(A)
- n维向量：n个有次序的数组成的数组。写成一行就是行向量，写成一列就是列向量。默认列向量。
- 分量：向量中的一个数。实向量，复向量。
- 解析几何+坐标系：n=3个实数就可表示既有大小又有方向的量。n>3时就只是纯粹沿用集合属于罢了。
- 向量空间：本质是向量集。R^3 = {r = (x,y,z)^T | x,y,z∈R}就表示三个实数描述的点的集合，简称3维向量空间。空间坐标系的一个点就是3维向量空间的一个分量。
- 向量集Vs点集：向量集是把点P看成原点目标点向量的终点。点集直接就是描述空间坐标系所有点。但是本质上，向量集和点集都是描述客空间的一个点线面。
- 向量组：每一个向量的维度数相同。一个mxn的矩阵就可以看成是n个m维列向量的向量组，又可以看成m个n维的行向量。

△△向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念

- 线性组合：给定向量组和一组实数，一个向量对应一个实数，先相乘后相加就是线性组合。这组实数就是线性组合的系数。
- 线性表示：用一组实数与一组向量先相乘后相加得到的和，去表示一个新向量。
- 向量b用向量组A：a1,a2,·····am线性表示 <充分必要条件> 矩阵A = (a1,a2,·····am)的秩等于矩阵B = (a1,a2,·····am，b)的秩。
- 系数矩阵：A列向量组（看成是一个1行n列的矩阵）* 系数矩阵（n行m列） =  B列向量组（1行m列的矩阵） 。  系数矩阵（m行n列） *  A行向量组（看成是一个n行1列的矩阵）=  B行向量组（看成是一个m行1列的矩阵）

△△向量组等价的概念

- 两个列向量组A和B，B向量组中的每一个向量都能用A向量组线性表示，因为初等变换可逆。自然B向量组和向量组A能够相互线性表示，那么A向量组就于B向量组等价。
- 若矩阵A与B列等价，则A向量组与B向量组等价。
- 初等变换、行等价、单个向量线性组合、向量组线性表示、初等变换可逆、行等价、单个向量线性组合、向量组线性表示、向量组等价。（行等价 -> 线性表示 - > 向量组等价 ）
- 对于线性方程组来说，系数矩阵存在意味着方程组有解。
- 向量组B能用向量组A线性表示的充分必要条件是R(A) = R(A,B)
- 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是R(A) = R(B) = R(A,B)
- 向量组B能用向量组A线性表示的必要条件是R(B)≤R(A)。线性表示，则R(A)=R(A,B)，而R(B)≤R(A,B)，则R(B)≤R(A)

△△△△向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法

- 把线性方程组看成是一个行向量组A，现在对行向量组A进行线性组合操作变成行向量组B，也就是说行向量组B能够用行向量组A线性表示。那么：行向量组A的线性方程组的解一定是行向量组B的线性方程组的解。总之，若B = A的线性相关，则A的解同样满足B。这时候若A = B的线性相关，则B的解同样满足A
- 几何语言：向量组B能由向量组A线性表示，则存在系数矩阵K使得B = AK；如果把系数矩阵K的每一列都看成是自变量的取值，则变成了AX = B有解，且X就是前面的系数矩阵，线性方程组的系数就是A向量组，常数项是B向量组
- 矩阵语言：B能用A线性表示的充分必要条件是R(A) = R(A,B)，必要条件是R(A) ≥ R(B)
- 把线性方程组写成矩阵，初等行变换成行最简矩阵求解方程。通过R(A)和R(A,B)的关系能够判断出线性方程组有解、有唯一解的充分必要条件。
- 矩阵方法：把向量变成矩阵，矩阵变形，分析结果解决几何问题。
- 线性表示：就是存在系数矩阵K。存在系数矩阵K的关键是两个矩阵秩的关系。本质描述两个向量组的关系
- 线性相关：存在一组不全为0的实数。本质描述一个向量组内部各个向量之间是否存在一种“至少有其中一个向量能由其余m-1各向量线性表示”的关系。
- 既然向量组可以用线性相关和线性无关来描述，而向量组本质就是线性方程组系数的抽离。那么线性方程组具有线性相关和线性无关的属性，如果方程组中有一个方程能够由其它方程线性表示，这个方程就是多余的。只有线性无关(线性独立)的方程组才有意义。
- 方程组Ax=B线性相关的充分必要条件是矩阵B = (A，B)的行向量组线性相关

向量组线性相关性质定理

- 部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关。整个向量组线性无关，则任何部分向量组都线性无关。
- 向量个数（方程组个数）一旦大于向量维数（未知量个数），必然线性相关（向量方程多余）
- 两个向量组，一个线性无关A，一个线性相关B=(A,b)。证明：1、r(A) = m。2、r(B) < m+1 。 3、r(A) ≤ r(B) < m+1 。4、r(A) = r(B) = m。5、秩的关系转变成Ax = b的解的个数，R(A) = R(A，b) = m，则Ax = b有解。则B比A增多的这部分b能够用线性无关的A线性表示。

△△△△向量组的线性相关

- 1、求出r(A)  。2、比较r(A)和行数m的大小。3、r(A)<m线性相关，r(A)=m线性无关.
- 证明线性无关：1、假设线性相关，存在一组实数。 2、列出等式实数与向量的乘加 = 0 。 3、求解设定的那组未知实数 。4、要么取不出来，要么求出来不符合线性相关定义。
- 1、向量关系矩阵表示。2、矩阵关系表示成Ax=0增光矩阵。3、判断唯一解x只能=0，于是线性无关
- 1、向量关系矩阵表示。 2、判断矩阵可逆。3、性质逆矩阵相乘不改变秩的大小

矩阵的秩的定理性质

- 通过讨论矩阵的秩来讨论向量组的线性表示讨论和向量组相关性讨论
- 矩阵中的非0子式能达到的最高阶能有好高

△△△△向量组的秩的定理性质

- 线性无关部分组
- 二维平面中任意三个向量都是线性相关的
- 向量组中的线性无关组所含向量数量最多能有好多
- 向量最多线性无关部分组
- 最大线性无关向量组
- 向量组A与最大无关组A0是等价的。证明：1、A0这个A的部分组总能通过A线性表示。2、利用性质【R(A)线性相关，R(A,b)线性无关，b能用A线性表示】得出A组的任意向量都能用向量组A0线性表示。3、相互线性表示，矩阵等价。
- 既然最大线性无关组A0等价于包含无限个向量的向量组A，研究包含无限个向量的向量组A就相当于研究A的最大线性无关向量组A0。
- A等价于最大线性无关向量组A0，即如果一个向量组与A等价，则这个向量组一定是最大线性无关向量组A0.
- A的最大线性无关向量组A0定义：1、向量组A0线性无关；2、向量组A的任意向量都可通过最大线性无关向量组A0线性表示。4、证明最大向量无关组的向量个数为r，两种证明方法，第一种按照定义证明包含r个向量的向量组A0线性无关。第二中方法就是证明包含r+1个向量的向量组B一定线性相关。
- 证明包含r+1个向量的向量组B一定线性相关。证明：1、从A中的找出任意r+1个向量构想向量组B；2、（利用性质向量组A的任意向量都能用最大无关向量组线性表示）将向量组线性表示的关系转变成秩的关系(就是把Ax=B有解的关系转变成秩的关系)R(B)≤R(A0)；3、r(A0) = r，r(B) ≤ r(A) ,自然r(B) ≤ r。而B想向量组个数是r+1个，自然B向量组是线性相关的。因为只要向量组的秩r小于向量组的向量个数，就可以判断向量组线性相关。

求向量组的秩

- 首先求出向量组S = k1A + k2B。这个k1和k2就是Ax = B的自由变量取值。
- 向量组的秩就是看看向量组的线性表达式到底有几个变量，有几个变量，向量组的秩就是几。
- 向量组的秩就等于对应矩阵的列向量组的秩，自然也就等于矩阵的行向量组的秩。证明：1、设对应矩阵A的秩r(A) = r，r阶子式Dr ≠ 0；2、判断n行r列矩阵一定列满秩，自然列向量组线性无关。3、r+1阶子式均为0，判断n行r+1列矩阵一定降秩，则r+1个列向量组一定线性相关。4、r列就是矩阵A对应的向量组的最大线性无关组A0的向量个数。5、行向量组的秩 =  矩阵的秩

求矩阵列向量组的最大线性无关组

- 1、阶梯型矩阵求秩。2、正元所在列构成列向量组的最大线性无关组。用列向量组得到最大线性无关组去线性表示不属于无关组的列向量
- 1、阶梯型矩阵A继续化简成行最简形矩阵B；2、（性质Ax =0与Bx = 0同解）将A矩阵的列向量线性关系转变成B矩阵的列向量线性关系；3、把B矩阵的线性关系移植到A矩阵
- 1、判断两个矩阵是初等行变换而来，行向量组等价。2、判断方程Ax=0与Bx=0同解。3、两个矩阵的列向量组具有相同的线性关系。4、列向量之间的线性关系自然更容易从行最简形矩阵中看出。

证明向量组等价

- 1、合并两个向量组；2、(利用性质不属于无关组的向量通通可以用最大线性无关组表示)把线性表示关系变成向量组秩的关系；3、利用秩关系（r(A)=r(B)=r(C)）判断等价关系A=B,其中C是向量组A和B的合并。

线性方程组解的结构

- Ax = 0存在非0解：R(A) < n
- Ax = b有解：R(A) = R(A,B)

△△矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系

- 定理2：对于有限个向量的向量组，矩阵/向量组A能由矩阵/向量组B线性表示的充分必要条件是R(A) = R(B)。本质R(A) = R(A,B)时Ax = B有解
- 对于无限个向量的向量组。Ax = B有解，必要条件，即必须一定满足的条件是R(B) ≤ R(A)。一旦R(B)比R(A)大，Ax=B就无解了。

△△△△向量的加法和数乘运算法则

△△向量组的极大线性无关组的概念

△△△求向量组的极大线性无关组及秩

△内积的概念

△△△△线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法

矩阵特征值概念

矩阵特征值：如果Ax = mx存在，则m是方阵A的特征值。
方阵相似对角化：如果存在可逆矩阵X使A与对角矩阵B相似，那么说A可对角化。
向量内积：【X,Y】列向量X和列向量Y的乘加，本质实数【X，Y】 = X^T * Y。本质：n维向量的数量积。
解析几何向量的数量积：X*Y = |X||Y|cosθ = x1y1+x2y2+x3y3 = 元素乘加。自然n维向量的内积是坐标系向量数量积的推广。自然需要用内积来定义n维向量的长度和夹角。
单位向量：1、向量长度||X|| = 1；2、任何向量与向量长度的比值都是单位向量；
单位化：把向量转化成单位向量
向量正交：向量之间的夹角为90度垂直。内积与向量长度的比值就是cosθ。自然0向量正交任何向量。
正交向量组：一组两两正交的非0向量
线性无关：每个向量前面的系数构成的实数组不能全为0。
标准正交基：1、基本质就是向量组；2、这个基向量组两两正交，即一定不相关；3、这个基向量组的向量都是单位向量。自然：向量空间的任意向量都可以用基向量组线性表示。
向量坐标：本质基础解系的系数。
正交矩阵：A^T * A = E，原本知道A^（-1）* A = E；联合可知A^(-1) = A^T。本质：正交矩阵的逆矩阵与转置矩阵相等！判断一个矩阵是正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是都是单位向量，且两两正交。证明：i=j时ai^Taj = 1；i≠j时ai^Taj = 0。因为A^TA = E与AA^T=E等价，则A为行向量组时依然成立。
正交变换：y = Px，其中P是正交矩阵。性质：||y|| = (y^Ty)^(1/2) = (x^TP^TPx)^(1/2) = (x^Tx)^(1/2) = ||x||。本质：向量长度经过正交变换，长度保持不变！
特征方程：行列式的值即正对角线相乘 = λ的n次多项式f(λ)= 0。f(λ)又称为特征多项式！自然λ的值就是特征方程f(λ)=0的解，就是矩阵的特征值。因为特征方程f(λ)=0在复数范围内恒有解，n个解就是n个矩阵特征值。

正交向量组定理

- r个n维列向量组满足所有非零向量两两正交，则这个向量组线性无关。

正交矩阵性质

* A是正交矩阵，A^(-1)=A^T也是正交矩阵；
* 正交矩阵|A| = 1或（-1）
* 若A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵

求解向量坐标

* 1、任意向量基础解系表示；2、利用基向量组线性无关且两两正交的性质左右同时左乘ei^T求解向量前面的系数；3、正交一抵消，最后只剩λi = ei^T * 任意向量a = [a，ei]；4、如此计算，自然求得每一个向量前面的系数λi ；5、这一切的前提是我们选向量空间基向量组的时候，努力取标准正交基。
基向量组标准正交化：就是把普通的基向量组转变成标准的正交基（简称施密特正交化）
把向量空间的一个普通基转变成标准正交基
* 方法：1、（施密特正交化）找出普通等价正交基 ；2、将普通等价正交基单位化转变成标准正交基

施密特正交化

* 1、b1=a1；2、b2 = a2 - b1  *【a2，b1】/||b1||^2；3、b3 = a3 - b1  *【a3，b1】/ ||b1||^2  - b2  *【a3 ,b2】/ ||b2||^2

* 单位化处理：向量与向量长度的比值

求两两正交非0向量a1,a2

* 1、求解基础解系，本质找到线性无关基向量；2、把基础解系的基向量组转变成普通等价正交基向量组；3、原本基础解系就正交，自然等价依然正交

内积性质

* 【X，Y】 = 【Y，X】
* 【λX，Y】 = λ【X，Y】
* 【X+Y，Z】= 【X，Z】+【Y，Z】

已知A矩阵特征值λ1、λ2（不相等）对应的特征向量p1、p2，证明p1+p2不是A的特征向量。

* 1、特征值关系代数表示；2、反正假设存在λ满足条件；3、利用线性无关性质反驳前面的推论证明假设错误

△△矩阵的特征值、特征向量的概念

* 特征值：（本质矩阵）Ax =  λx也可写成（A- λE）=0。本质n个变量n个方程的齐次线性方程组。存在非0解的充分必要条件是系数行列式|A-λE| = 0，即R(A) = R(A,b) <n
* 方阵特征值：矩阵特征值或特征向量
* 特征向量：|A-λiE|x = 0当矩阵特征值为λ时解求得的非0解x = Pi，这个Pi就是矩阵A特征值为λi时求得的特征向量。如果特征值λi为实数，这Pi为实向量，λi为复数时，Pi为复向量。性质：特征值λ = λi时，特征向量P= Pi，kPi同样是特征值λ对应的特征向量。

△△△△矩阵特征值的性质

* Ap = λp，则 A^k * p =  λ^k * p
* 特征值多项式与矩阵多项式系数相同。且一一对应！3、将A的特征值λ带入ψ（λ）中就得到ψ（A）的特征值。
* 1/λ是A^(-1)的特征值：1、特征值代数关系化；2、左右同乘A^（-1）然后移项
* λ1+λ2+····+λn = a11 + a22 + ···+ann(其中aij是矩阵A的元素，此时[f(λ) = (λ1-λ)(λ2-λ)···(λn-λ)])
* λ1λ2····λn = |A|
* A可逆的充分必要条件是：A的n个特征值全不为0，一个0也没有！假设矩阵特征值为λi。
* 如果方阵A的m个特征值λ1，λ2，····，λn 互不相等，则与特征值相对应的特征向量p1,p2,···,pm一定线性无关。证明：归纳法。1、m=1；2、假设m=k-1时线性无关，证明m = k时依然线性无关；3、结论代数关系化，做加减乘除线性运算
* 推广：一个特征值对应一个特征向量组，两个特征值就对应两个向量组，如果来年各个特征值不相等，则把两个特征向量组合起来依然是线性无关的。

△△△△求矩阵特征值和特征向量的方法

* 单独矩阵特征值：1、将λ是A的特征值关系化Ap = λp；2、左右同乘一个A，则A^2 = λ^2p得证；本质：Ap = λp，则 A^k * p =  λ^k * p
* 矩阵代数关系式特征值：1、矩阵代数关系拆解分析转变成ψ（A）；2、性质ψ（A）与ψ（λ）系数相同得到ψ（λ）；3、将A的特征值λ带入ψ（λ）中就得到ψ（A）的特征值。
* 1、特征多项式f(λ)因子相乘；2、求得特征值； 3、带入特征值到特征行列式；4、特征行列式变成行最简行列式；5、自由变量赋值；6、求解Ax = 0解得的变量值向量表示即是特征向量；

△△矩阵相似的概念

* 相似矩阵：P^(-1)AP = B，那么B是A的相似矩阵。
* 相似变换：P^(-1)AP就是对A进行相似变换
* 相似变换矩阵：可逆的那个矩阵就是相似变换矩阵
矩阵幂关系：1、A^k = PB^kP^(-1) ；
矩阵多项式关系：1、ψ（A） = Pψ(B)P^(-1)
对角矩阵Λ是A的相似矩阵，即PAP^(-1) = Λ，则A^k = PΛ^kP^(-1)，ψ（A） = Pψ(Λ)P^(-1)
对角矩阵的幂和多项式都是正对角线上每一个元素的幂和多项式。

△△△△相似矩阵的性质

* A和B相似，则两个矩阵的特征多项式相同，自然两个矩阵的特征值也相同。证明：1、A与B相似关系变成矩阵代数关系；2、B矩阵的特征行列式通过相似代数关系式变成A矩阵的特征行列式；3、一对比竟然发现A与B的特征值多项式相同。总结：以后求矩阵的特征值，直接求不好求，可以先做相似变换，变换成对焦矩阵，利用特征值相等的性质求解。
* 推论：n阶矩阵A与对角矩阵相似，则对角矩阵正对角线上的元素就是矩阵A的n个特征值。证明：1、对角矩阵特征值一目了然；2、相似矩阵与原矩阵特征值相等！

△矩阵可相似对角化的充分必要条件

* PAP^(-1) = Λ的关键是找到这个可逆矩阵P
* 讨论P应满足的关系：1、P本质表示成列向量组矩阵；2、PAP^(-1) = Λ推导AP = PΛ = 可逆矩阵 *相似对角矩阵 = 原矩阵 * 可逆矩阵；3、抽离规律Api =  λpi得到λ是原矩阵A的特征值，pi是特征值λ对应的特征向量。4、n个特征值λ对应的特征向量pi构成向量组P就是可逆矩阵。（特征向量不唯一，自然可逆矩阵P也不唯一，更有可能是复数特征值对应的复数特征向量构成的复矩阵）5、P向量组是否线性无关还未确定
* 综上所述：n阶矩阵A能够对角化的充分必要条件是原矩阵A有n个线性无关的特征向量！
* 推论：如果A矩阵有n个互不相等的特征值，则A与对角矩阵相似！毕竟这等于告诉了我们矩阵A有n个线性无关的特征向量！
* 当n阶矩阵的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，毕竟有特征值相等的情况呀！从而就不一定能对角化！敲黑板了，这里是不一定，不是一定，就是说完全有可能存在特征值相等，但是特征向量依然线性无关的情况。毕竟特征值不相等能够推导出特征向量线性无关，但是特征值相等不能推导出特征向量就一定线性相关！
* 我们通过特征值多项式求出来的特征值就是对角相似矩阵的正对角线上的值！
* 发现一个规律：当我们带入矩阵特征值，然后变成行最简形矩阵，则存在几个自由变量，就有几个线性无关的特征向量。而且R(A) = n - R（S），其中S是特征向量组。
* 而且以后条件反射，一看到求矩阵未知数，直接就想到行最简，然后比对秩R。

△△△△将矩阵化为相似对角矩阵的方法

* 1、行最简；2、减去E；3、λ多项式；4、带入行列式；3、行最简；4、自由变量线性表示；5、自由变量取值构成不相关特征向量；6、λ的值就是对角矩阵元素

对称矩阵(A^T = A)的特征值和特征向量的性质

* 对称矩阵的特征值为实数。证明：历史难题
* λ1和λ2是对称矩阵A的两个特征值，p1、p2是特征值对应的特征向量，若特征值不相等，则特征向量正交。证明：1、特征值关系代数表示；2、p1的代数关系式两边同时转置；3、两边同乘p2转变成p1和p2的关系；4、(λ1 - λ2)p1^Tp2 = 0，自然正交！
* A是n阶对称矩阵，必有正交矩阵P,使P^(-1)AP = P^TAP = Λ，Λ是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵！
* 推论：若A为n阶对称矩阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵A-λE的秩R(A -λE) = n-k，从而对应的特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。证明：1、A-λE = Λ-λE = diag(λ1-λ，·····，λn-λ)相似；2、λ是矩阵A的k重特征根时，矩阵A的n个特征值就有k个等于λ；3、自然对角矩阵Λ-λE的对角元素恰有k个等于0；于是R(Λ-λE) = n-k，因为R(A-λE) = R(Λ-λE)，自然R(A-λE) = n-k

对称矩阵对角化步骤

* 求出A的全部不相等特征值和重根数k
* 求基础解系，得到特征向量
* 特征向量正交化，单位化
* 注意的是：Λ对角元本质是矩阵特征值，必须与可逆矩阵P里面的特征向量一一对应！不得有误！

已知A求A^n

* 1、利用A对称将A对角化，转求A^n = PΛ^nP^(-1)变成求Λ^n；2、求得矩阵A的特征值；3、求特征值对应的特征向量；4、求得特征向量组及向量组矩阵的逆矩阵，公式得解！

△二次型的概念

* 解析几何便于研究二元二次方程所构成的曲线的集合性质，通常选在坐标旋转变换！
* n个变量，每个变量都是二次方。

△△△△用矩阵形式表示二次型

* f = x^T A x，其中A为对称矩阵。二次型和对称矩阵一一对应

△合同变换与合同矩阵的概念

* x变量向量 = y变量向量的线性表示，线性表示的系数构成一个新的可逆矩阵C，带入二次型，x变成y,A变成了C^TAC = B,B与A就是合同矩阵，
* 合同变换：变量正交化，变换坐标系。

△二次型的秩的概念

△二次型的标准形、规范形等概念

△惯性定理

△△△用正交变换和配方法化二次型为标准形

△△正定二次型、正定矩阵的概念

△△△△其判别法

△△△用克拉默法则解线性方程组

△△△△非齐次线性方程组有解和无解的判定方法

△△齐次线性方程组的基础解系的概念

△△△△齐次线性方程组的基础解系和通解的求法

△△非齐次线性方程组解的结构及通解的概念

△△△△用初等行变换求解线性方程组的方法