图-关键路径（AOE网）

• AOE网：在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网（Activity On Edge Network）。
• 我们把AOE网中没有入边的顶点称为始点或源点，没有出边的顶点称为终点或汇点。

AOV网与AOE网的比较

名词解释

• etv(Earliest Time Of Vertex)：事件最早发生时间，就是顶点的最早发生时间；
• ltv(Latest Time Of Vertex)：事件最晚发生时间，就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，如果超出此时间将会延误整个工期。
• ete(Earliest Time Of Edge)：活动的最早开工时间，就是弧的最早发生时间。
• lte(Latest Time Of Edge)：活动的最晚发生时间，就是不推迟工期的最晚开工时间。

// 边表结点声明
typedef struct EdgeNode
{
    int adjvex;
    struct EdgeNode *next;
}EdgeNode;

// 顶点表结点声明
typedef struct VertexNode
{
    int in;         // 顶点入度
    int data;
    EdgeNode *firstedge;
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
    AdjList adjList;
    int numVertexes, numEdges;
}graphAdjList, *GraphAdjList;

int *etv, *ltv;
int *stack2;            // 用于存储拓扑序列的栈
int top2;               // 用于stack2的栈顶指针

// 拓扑排序算法
// 若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回OK，否则返回ERROR
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{
    EdgeNode *e;
    int i, k, gettop;
    int top = 0;        // 用于栈指针下标索引
    int count = 0;      // 用于统计输出顶点的个数
    int *stack;         // 用于存储入度为0的顶点
    
    stack = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));
    
    for( i=0; i < GL->numVertexes; i++ )
    {
        if( 0 == GL->adjList[i].in )
        {
            stack[++top] = i;   // 将度为0的顶点下标入栈
        }
    }
    
    // 初始化etv都为0
    top2 = 0;
    etv = (int *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));
    for( i=0; i < GL->numVertexes; i++ )
    {
        etv[i] = 0;
    }
    stack2 = (int *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));
    
    while( 0 != top )
    {
        gettop = stack[top--];      // 出栈
        // printf("%d -> ", GL->adjList[gettop].data); 
        stack2[++top2] = gettop;    // 保存拓扑序列顺序 C1 C2 C3 C4 .... C9
        count++;                
        
        for( e=GL->adjList[gettop].firstedge; e; e=e->next )
        {
            k = e->adjvex;
            // 注意：下边这个if条件是分析整个程序的要点！
            // 将k号顶点邻接点的入度-1，因为他的前驱已经消除
            // 接着判断-1后入度是否为0，如果为0则也入栈
            if( !(--GL->adjList[k].in) )    
            {
                stack[++top] = k;
            }
            
            if( (etv[gettop]+e->weight) > etv[k] )
            {
                etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
            }
        }
    }
    
    if( count < GL->numVertexes )   // 如果count小于顶点数，说明存在环
    {
        return ERROR;
    }
    else
    {
        return OK;
    }
}

// 求关键路径，GL为有向图，输出GL的各项关键活动
void CriticalPath(GraphAdjList GL)
{
    EdgeNode *e;
    int i, gettop, k, j;
    int ete, lte;
    
    // 调用改进后的拓扑排序，求出etv和stack2的值
    TopologicalSort(GL);
    
    // 初始化ltv都为汇点的时间
    ltv = (int *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));
    for( i=0; i < GL->numVertexes; i++ )
    {
        ltv[i] = etv[GL->numVertexes-1];
    }
    
    // 从汇点倒过来逐个计算ltv
    while( 0 != top2 )
    {
        gettop = stack2[top2--];    // 注意，第一个出栈是汇点
        for( e=GL->adjList[gettop].firstedge; e; e=e->next )
        {
            k = e->adjvex;
            if( (ltv[k] - e->weight) < ltv[gettop] )
            {
                ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
            }
        }
    }
    
    // 通过etv和ltv求ete和lte
    for( j=0; j < GL->numVertexes; j++ )
    {
        for( e=GL->adjList[j].firstedge; e; e=e->next )
        {
            k = e->adjvex;
            ete = etv[j];
            lte = ltv[k] - e->weight;
            
            if( ete == lte )
            {
                printf("<v%d,v%d> length: %d , ", GL->adjList[j].data, GL->adjList[k].data, e->weight );
            }
        }
    }
}