共分五次
第一次　线性插值的唯一性和拉格朗日插值
第二次　牛顿插值
第三次　赫米特插值
第四次　分段插值
第五次　习题课和小结

$\Large\mathbf{赫米特插值}$

$\large\mathbf{赫米特插值构造原理}$
在插值节点处，插值多项式不仅值等于原值，且若干阶导数值与插值节点值相同，这类插值称为Hermite插值，这种插值的拟合性对于函数变化较激烈的函数较好于Lagrange插值法。

[引入] $设f(x)在节点x_0,x_1,,x_n上的函数值f(x_i)和导数值f^{'}(x_i)为已知，求作插值多项式H(x)使满足$
$\\H(x_i)=f(x_i) \qquad H^{'}(x_i)=f^{'}(x_i) \quad (x=0, 1, 2,...,n)$
上式中有2n+2个约束条件，故可以确定一个次数不高于2n+1的多项式 $H(x)$ ,插值问题转化为构造多项式问题。

基于基函数构造

$H(x)=\sum_ {i=0} ^{n} [y_i \alpha_i(x) + y^{'}_i\beta_i(x_i) ]$
类似拉格朗日插值， $\alpha_i(x_j)=1时i=j,否则为0$
$\beta_i^{'}(x_j)=1时,i=j,否则为0,且\beta_i(x_j)=0恒成立$
$Lagrange插值基函数l_i(x)=\prod\limits _{i\neq j j=0} ^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
上式为n次多项式，故构造
$\alpha_i(x)=(a_1+b_1x)*l_i ^2 (x) \tag{1}$
$\beta_i(x)=(a_2+b_2x)*l_i ^2 (x) \tag{2}$
显然(1)中，仅当 $x=x_i$ 时 $l_i ^2 (x)=1$
$\beta_i^{'}(x)=1时，对于插值节点，当且仅当x=x_i$

$\alpha_i(x_i)=(a_1+b_1x_i)*l_i ^2 (x)=1$
$\alpha_i ^{'}(x_i)=a_1l_i ^2 (x_i)+(a_1x_i+b_1)*2l_i(x_i)l_i ^{'} (x_i)=0$
可得
$a_1x_i+b_1=1$
$a_1+2l_i ^{'} (x_i)=0$
故
$a_1=-2l_i ^{'} (x_i) \qquad b_1=1+2x_1 l_i ^{'} (x_i)$