(sinx)^n+(cosx)^n 的值域

今天看到「善科题库」发了一条微博，求函数 f(x) =\sin^6 x+\cos^6 x 的值域 ​​​​。

这个题目当然是很简单的，高中套路题，算一下 (\sin^2 x+\cos^2 x)^3 就好啦，无聊的我居然真的拿笔算了一下，答案是 [ \tfrac{1}{4} ,1] 。

然后我又想着用 Mathematica 算一下指数是其他数时的情况，发现这个是有规律的啊，

观察可以发现，对于 f(x) = \sin^n x+\cos^n x,\,n \in \mathbb{N}^+ ，当 n=1 时值域是 [-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}]，当 n>1 时要看 n 的奇偶性，当 n 是奇数时值域一直是 [-1,1] ，当 n 是偶数时值域是 [2^{1-\frac{n}{2}},1]。为了表达的美观性，可以记 n 为偶数时 n = 2k ，f(x) 的值域是 [ \tfrac{1}{2^{k-1}},1] 。

观察到了结论，想一想怎么说明它吧，试了试也不是很难。

n=1 时是很熟悉的
f(x) = \sin x+\cos x = \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4} ) \in[-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}]

当 n \geq 2 时，
f(x) = \sin^n x+ \cos^n x \le \vert \sin x \vert^n + \vert \cos x \vert^n \le \sin^2 x + \cos^2 x = 1

等号可以取到，比如 x= 0 时。所以 n \geq 2 时 f(x) 的最大值就是 1 。

  • n = 2k 时，考虑到 g(x) = x^k 在 (0,+\infty) 上是一个下凸函数，有
    f(x) = \sin^{2k} x + \cos^{2k} x \geq 2 \cdot \left( \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{2} \right)^k = \dfrac{1}{2^{k-1}}

    当 \sin^2 x = \cos^2 x 时取到最小值；

  • n 为大于1的奇数时，
    f(x) = \sin^n x + \cos^n x \ge -\vert \sin x \vert^n - \vert \cos x \vert^n \ge - \sin^2 x - \cos^2 x = -1

    等号可以取到，比如 x = \pi 时。

考虑函数的连续性，到这里就完成说明了，可以确定 f(x) 的值域正如前面观察到的那样。


参考：

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