分水岭算法的应用

上海交通大学
医学图像处理

数学形态学一个应用是分水岭算法，为了便于理解，可以将图像的灰度空间与地球表面的地形高度相类比，据此，发明了应用于图像领域的分水岭算法。

测地线距离

假设，如下图所示的一个岛屿，要从 $x$ 点走到 $y$ 点，虚线所表示的是最短的直线距离，也就是欧式距离，考虑到现实情况，不能穿过水面到达目标地点，所以，能够从起点到终点的实际通行路线中最短的距离成为测地线距离。

通过以上分析，给出测地线距离的定义：

给定指定连通域 $F_a$ ,测地线距离就是 $F_a$ 中两个像素点 $x$ 和 $y$ 之间的最短（可执行）路径的长度，用公式定义如下：
$d_{F_{a}}(x,y) = \wedge \{ l(P)\}$

测地线影响域（Geodesic Influence Zone，IZ）

如下图所示，假定一个连通域 $A$ 包含了若干个子区域 $B_1,B_2,…B_k，$ ，用公式表示 $iZ_A(B_i)$ 所表示的测地线影响域为：
$iZ_A(B_i) = \{ p \in A ,\forall j \in [1,k]/ \{i\}, d_A(p,B_i)<d_A(p,B_j)\}$

以上公式可以理解为，区域 $A$ 中的像素点到 $B_i$ 域的测地线距离比其他域更小的点的轨迹的集合，也就是以 $B_i$ 域中的种子点出发，其测地线距离比其他域的种子点都要小的点集所构成的区域。如下图所示:

测地线影响域的skeleton（SKIZ）

SKIZ表示区域 $A$ 中的点不属于任何一个测地线影响域，也就是域 $A$ 中的点到两个测地线影响域的中测地线距离相等。区域 $A$ 中构成 $B$ 的SKIZ，记作 $SKIZ_A(B)$ ，用公式的表述如下：
$SKIZ_A(B) = A /IZ_A(B) \ \ with \ \ IZ_A(B) = \bigcup_{i \in [1,k]}iZ_A(B_i)$

注意：， $A/B$ 表示区域 $B$ 以外的 $A$ 中的所有点的集合集合

分水岭算法

如下图所示的山脉地形图，包含山谷和山峰，在水平面不断上升的过程中，会逐渐淹没掉一些较低的区域，而为了防止水溢出，需要不断在山脊上修建大坝，这个过程不断进行，最后会得到一个区域分割的效果。

在一副图像上实现分水岭算法，与上述过程相似，只不过是通过灰度值充当水平面的角色，对图像进行不断的填埋，最后得到区域分割的效果图。

如上图所示的动画中，不断用灰度值代表的水平面淹没图像中的最小值，最后得到分割后的图像。综上，分水岭算法的步骤可以总结如下：

按照图像灰度值对图像中的所有像素进行排序；
将最小的灰度值作为起始点，该灰度值也是初始阈值；
通过每次迭代加1的方式增加阈值，如果找到另外一个局部最小点，将其添加到最小点列表，然后计算和其他已存在的最小点的SKIZ，否则，计算该点和已经存在的最小点列表计算SKIZ
步骤3的过程可以理解为：以起始点为中心进行区域增长，区域增长的过程会不断接触新的邻域，而通过计算SKIZ距离的方式分配（区域增长所接触到的）邻域内的像素点，分配邻域内像素点的类别。
重复步骤3，直到所有的像素点都被分类到“盆地”（区域），或者阈值超过了最大的灰度。

如下图所示，另外一种分水岭算法的原理是，指定初始的种子点，只对种子点所在的邻域像素进行分类，而不考虑其他区域。

分水岭算法的应用实例

如下图所示的图片，以最小点开始，进行分水岭算法，会将整幅图分割成许多小区域，造成过分割的效果。为了解决这一问题，有以下三种解决方案：

通过一些平滑运算（如高斯平滑）抹掉原图中的一些较小的像素点；
增加分水岭算法的初始阈值，通过分水岭算法直接抹掉一些较小的像素点；
通过其他算法，把已经混合在一起的一些小区域进行组合，之后在通过分水岭算法分割。

最后，通过合并一些小区域再利用分水岭算法进行分割的效果如下图所示：

如下图所示，展示了通过分水岭算法分割血细胞的流程：