5.Barro (1979)'s Tax Smoothing Model

在给定政府支出时，假定政府最小化当前的超额收税压力

在取消总量税的情况下，政府应当寻求最小化其比例税的福利损失，这些福利损失被假定为递增且凸的关于平均税率的时变函数

特别地，设政府的主观效用函数为： $\min_{\{\tau_t,B_{t+1}\}}\mathbb{E}_0[\sum_{t=0}^\infty\beta^t(\frac{1}{2}\tau_t^2)]$

有预算约束： $B_{t+1}=RB_t+G_t-\tau_tY_t\quad(61)$

其中 $\mathbb{E}_0$ 是政府在零时刻可获得信息上的条件期望， $\beta$ 是政府的主观折旧率， $\tau_t$ 是比例税率， $B_t$ 是政府借贷， $G_t$ 是政府支出， $Y_t$ 是真实GDP， $R$ 是利率

根据Ghosh (1995)，假定 $Y_t$ 增长率 $n$ 为常数，则等式 $(61)$ 可写为：

$Rb_t+g_t-\tau_t=(1+n)b_{t+1}\quad(62)$

构造拉格朗日函数：

$L=\mathbb{E}_0\{\sum_{t=0}^\infty\beta^t[-\frac{1}{2}\tau_t^2+\lambda_t((1+n)b_{t+1}-Rb_t-g_t+\tau_t)]\}$

一阶条件为： $\begin{align*}\tau_t&=\lambda_t\\(1+n)\lambda_t&=\beta R\mathbb{E}_t\lambda_{t+1}\end{align*}$

意味着： $\tau_t=\frac{\beta R}{1+n}\mathbb{E}_t\tau_{t+1}\quad(63)$

采用约束 $\frac{\beta R}{1+n}=1$ ，我们有Barro的结论，即最优比例税率应满足随机游走模型

由等式 $(62)$ 迭代得跨时预算约束：

$\sum_{j=0}^\infty(\frac{1+n}{R})^jg_{t+j}+Rb_t=\sum_{j=0}^\infty(\frac{1+n}{R})^j\tau_{t+j}\quad(64)$

则有Barro (1979)的永恒政府支出理论：

$\tau_t=(1-\beta)R[b_t+\frac{1}{R}\sum_{j=0}^\infty(\frac{1+n}{R})^j\mathbb{E}_tg_{t+j}]\quad(65)$

假定政府支出满足AR(1)过程，即：

$g_t=(1-\rho_g)\overline{g}+\rho_g g_{t-1}+\varepsilon_t\quad(66)$

其中 $\rho_g\in[0,1]$ 且 $\varepsilon_t\sim i.i.d.\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ ，我们有：

$\begin{align*}\mathbb{E}_tg_{t+j}&=(1-\rho_g^j)\overline{g}+\rho_g^jg_t\\\rho_g^j\varepsilon_t&=(\mathbb{E}_t-\mathbb{E}_{t-1})g_{t+j}\end{align*}$

简化 $n=0$ ，将 $(66)$ 代入 $(65)$ ，得：

$\tau_t=(R-1)[b_t+\frac{1-\rho_g}{(R-1)(R-\rho_g)}\overline{g}+\frac{1}{R-\rho_g }g_t]$

进而有： $\Delta \tau_t=\frac{R-1}{R-\rho_g}\varepsilon_t\quad(67)$

政府赤字为：

$def_t=b_{t+1}-b_t=(R-1)b_t+g_t-\tau_t=\frac{1-\rho_g}{R-\rho_g}(g_t-\overline{g})\quad(68)$

即政府赤字与政府支出正相关

考虑两种特殊情况：

①政府支出冲击是永久的，即 $\rho_g=1$ ，比如教育保障和医疗保障支出

则有 $\Delta\tau_t=\varepsilon_t,def_t=0$ ，说明政府最好用税收吸收永久冲击的支出

②政府支出冲击是片刻的，即 $\rho_g=0$ ，比如失业补助和自然灾害支出

则有 $\Delta\tau_t=\frac{R-1}{R}\varepsilon_t,def_t=\frac{1}{R}\varepsilon_t$ ，说明冲击的 $\frac{R-1}{R}$ 由税收吸收， $\frac{1}{R}$ 由债务吸收，因为 $R\rightarrow1$ ，所以冲击主要由债务吸收

对等式 $(66)$ 使用滞后算子，得： $g_t=\frac{1-\rho_g}{1-\rho_gL}\overline{g}+\frac{1}{1-\rho_gL}\varepsilon_t$

进而有： $\Delta g_t=\frac{1}{1-\rho_gL}\varepsilon_t-\frac{1}{1-\rho_gL}\varepsilon_{t-1}=\varepsilon_t+(\rho_g-1)\sum_{j=0}^\infty\rho_g^j\varepsilon_{t-j-1}$

$var(\Delta g_t)=[1+(\rho_g-1)^2\sum_{j=0}^\infty\rho_g^{2j}]\sigma^2=[1+\frac{(\rho_g-1)^2}{1-\rho_g^2}]\sigma^2=\frac{2}{1+\rho_g}\sigma^2$

设比例税率的波动率与政府支出的波动率之比为 $\mu$ ，则有：

$\mu=\frac{sd(\Delta\tau_t)}{sd(\Delta g_t)}=\frac{R-1}{R-\rho_g}\sqrt{\frac{1+\rho_g}{2}}$

假定 $\rho_g=0.5,R=1.04$ ，得预期值 $\mu=0.064$ ，然而数据中 $\mu=0.76$ ，说明该模型未能正确预测比例税率与政府支出的相对波动率

由等式 $(68)$ 得 $\rho=corr(def_t,g_t)=1$ ，反而在数据中 $\rho=0.57$ ，说明该模型未能正确预测政府赤字与政府支出的关系

lecture10 Fiscal Policy 5

lecture10 Fiscal Policy 5

5.Barro (1979)'s Tax Smoothing Model