大数据之统计学基础(一) -- 描述统计

描述统计

1.描述数据水平的统计量

  1. 平均数（平均数反映了一组数的平均水平，平均数会受到极端值的影响），在计算时一般使用算术平均数：

算术平均数 \ \ \bar{x} = {\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i \over n}

  1. 分位数：四分位数、中位数（中位数反映一组数据的中等水平，只与数据的位置有关，不受极端值影响）、百分位数

中位数： M_e=\begin{cases} x_{(n+1) \over 2}, & n为奇数 \\ {1 \over 2}(x_{n \over 2}+x_{{n \over 2}+1}), & n为偶数 \end{cases} `

四分位数 \ \ \ \ \ \ \ \ Q_{25\%} = {n+1 \over 4} ;\ \ \ Q_{75\%}={3(n+1) \over 4}

  1. 众数（一组数据中出现频次最多的数）

2.描述数据差异的统计量

  1. 极差：一组数据的最大值与最小值之差（受极端值影响）。

R = Max(x) - Min(x)

  1. 四分位差（反映中间50%数据的离散程度，不受极端值影响）。

IQR = Q_{75\% }-Q_{25\%}

  1. 方差和标准差：标准差反映数据离散程度的绝对值，其数值受原始数据大小的影响；另外，标准差与原始数据的计量单位相同，因此，在比较不同样本数据的离散程度时，使用变异系数是更好的选择。

样本方差 \ \ s^2 = {\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i- \bar{x})^2 \over n-1} \\

  1. 变异系数（CV）:变异系数又称离散系数，变异系数消除了计算数值和计量单位的影响，因此可以反映一组数据的相对离散程度（变异系数是相对值）,主要用于比较不同样本数据的离散程度。

离散系数 \ \ CV = {s \over \bar{x}}

  1. 标准分数：标准化值，度量每个数值在该组数据中的相对位置

标准分数 \ \ z_i = {x_i -\bar{x} \over s}

3.描述数据分布形状的统计量

  1. 偏度系数：偏度系数用于描述数据分布的对称性，偏度系数越接近0，则数据的分布月对称，偏度系数为正，则数据分布为右偏，为负，则数据分布为左偏

  2. 峰度系数：描述数据分布峰值的高低。

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