摘要：逻辑主义者认为，数学可被归化为逻辑，数学的对象可以用逻辑词项来定义，而数学定理可以由逻辑原理推导出来。形式主义者认为，数学的本质是对字符的操作，一个字符列表和一些所允许的操作的规则几乎穷尽了关于一个给定的数学分支所要说的一切。直觉主义者认为，数学实践本质上是一种精神活动，数学家的主要工具是他们的心灵，而且经典逻辑中的排中律是不成立的。

一、逻辑主义

· 康德认为数学是先天的，即它是独立于感觉经验而可知的，数学还是综合的，即它不能由对概念的分析来判定。

· 密尔认为数学是经验的、后天的，20世纪的数学家大多认为数学是分析的或近乎分析的，即它可以由对概念的分析来判定。

· 逻辑主义者认为数学可被归化为逻辑，数学的对象可以用逻辑词项来定义，而数学定理可以由逻辑原理推导出来。

1.弗雷格

· 弗雷格认为，一个命题是先天的，即它是一个不可证明的“普遍法则”，或者它有一个仅依赖于不可证明的“普遍法则”的证明；

· 弗雷格认为，一个命题是分析的，即它是“普遍逻辑法则”，或者它有一个仅依赖于“普遍逻辑法则”的证明。

· 弗雷格认为，只有可知的或可证明的命题才能是先天的或分析的，由于算术和实分析是分析的，每个关于自然数或实数的真都是可证明的，或者是不可证明的普遍逻辑法则或定义。

· 如果存在一个概念下的对象和另一个概念下的对象的一一对应，就说这两个对象是等数的，这样可以判断两个集合是否相同。

· 对任意概念F和G的数，当且仅当F和G是等数的，F的数等于G的数（休谟原理），这里“F的数”是指称一个对象的语法形式。

· 弗雷格是一个本体论的实在论者，相信自然数是独立存在的，也是一个真值的实在论者，认为数学陈述有客观的真值。

· 令概念Z为“不等于自身”，由于每个对象都等于自身，没有对象适合于Z，对于所有的对象a，Za是假的，自然数0被定义为Z的数。

· 自然数n在自然数序列中紧跟在m后，当且仅当存在概念F和此概念下的一个对象x，概念F的数是n，而概念“F之下但不等于x”的数是m。

· 令概念T为“等于零”，对于所有的对象b，Tb是真的当且仅当b=0，因此T恰好对一个对象（自然数0）成立，自然数1被定义为T的数。

· 定义自然数2为概念“或等于零或等于1”的数，对其他自然数的定义以此类推。

· 令n为任意自然数，考虑概念Sn为“以n结尾的自然数序列中的成员”，对任意对象a，Sna成立当且仅当a是小于或等于n的自然数；弗雷格证明了概念Sn的数是n的后继，即n＋1，这就确立了无穷多的自然数的存在。

· 当且仅当对任意概念F，若F对0成立并且对每个对象d，从命题d在F之下可得到d的每个后继在F之下，那么n在F之下，n是一个自然数。

· 弗雷格证明了诸如归纳原理的常见算术命题如何从这些定义得出，这一从休谟原理对基本算术原理的导出现在被称为弗雷格定理。

· 休谟原理决定“F的数＝G的数”这种形式的等同，但它不能决定“F的数＝t”（t是任意专名）这种形式的句子的真值。

· 一个概念的外延是这个概念适用于其上的所有对象的类，概念F的数被定义为“与概念F等数”这个概念的外延。

· 弗雷格证明了休谟原理如何从这些定义中得出以及外延的其他一些常见性质，完成了对算术的导出和关于自然数的逻辑主义的确立；弗雷格成功地证明了算术是分析的，这严格地把运用算术解释为对概念和对象的集合的计数。

· 算术原理可由逻辑法则推导出这一论题与逻辑学本身没有本体论的观点是对立的，不存在特别的逻辑对象；因为存在无穷的自然数，所以如果逻辑对存在多少对象无所述说，那么人们就不能在逻辑中定义自然数。

· 对弗雷格来说外延紧密联结于概念，因此逻辑学有本体论，逻辑对象包括一些必然存在的概念的外延，因此逻辑对象必然存在，也因此逻辑的必然性得以保持。

· 弗雷格明确区分了逻辑学与特殊科学，由于逻辑学是普适的，逻辑学是话题中立的，即逻辑真是绝对普遍的，对概念和它们的外延的使用没有损害它的中立性。

· 弗雷格并没有把他的逻辑主义推广到几何学。在这一问题上他是个康德主义者，认为欧几里得几何的原理是先天综合的，几何学有一个特殊的非普遍的研究对象，即空间。

· 弗雷格的基本法则五是：对任意概念F和G，F的外延等于G的外延当且仅当对任意对象a，Fa当且仅当Ga。

· 罗素发现弗雷格的基本法则五是不一致的（罗素悖论），令R为恰在下述情况下对x成立的概念：存在概念F，使x是F的外延且Fx为假；令r为R的外延，假设Rr为真，那么存在概念F，使得r是F的外延且Fr为假，由基本法则五就可以得出Rr也为假，因为r也是R的外延；又因为Rr是假的，存在概念F（即R），使得r是F的外延且Fr为假，所以R对r成立，因而Rr为真。

2.罗素

· 罗素认为弗雷格对自然数的解释本质上是正确的，他不同意弗雷格的说法：由于基本法则五带来的矛盾，算术的唯一可能的基础似乎消失了；对基本法则五只要做恰当的理解，它就是关于“外延”或“类”的正确定义。

· 从基本法则五到悖论的推理援引了一个谬误，一个对数学实体的定义是“非直谓的”是指该定义涉及包含这个被定义实体的集合，罗素主张非直谓的定义是不合理的，因为它们是循环的；若要通过一个变元生成一个新的对象，这个新的对象必须不在此变元可取的值的范围内。

· 罗素悖论的形成违反了“恶性循环原则”，为了产生该悖论，我们定义概念R“满足x当且仅当存在概念F，x是F的外延且Fx为假”，R的这一定义涉及所有概念F，且R正是这样一个概念F，因此R的定义是非直谓的，对非直谓定义的禁止排除了做出这种假设的可能。

· 罗素提出了类型论，将宇宙划分为不同部分：把“个体”定义为不是类的对象，个体属于类型0，而个体组成的类属于类型1，个体类的类属于类型2，依此类推。

· 对任意类C，定义C的数为由所有与C等数的类组成的类，一个自然数就是某个类的数；一个类α的数的后继是包含α以及任何一个不属于α的个体x的类的数。

· 自然数0被定义为由所有无成员的类型1的类组成的类，所以0是一个类型2的类，其下有且仅有一个成员，即类型1的空集；自然数1被定义为由所有有唯一成员的类型1的类组成的类，所以自然数1也是一个类型2的类，并且它有与个体的个数一样多的成员；下面的自然数定义依此类推。

· 对弗雷格来说，自然数0是概念“不等于自身”的数。这与罗素的方案是相符的，其中0是一个类型2的类；弗雷格提议自然数1为概念“等于0”的数。用类的概念来说，自然数1是｛0｝的数，但｛0｝是类型3的，因而这个类的数是类型4的。

· 对罗素来说，每个自然数都是类型2的类，他不能接受弗雷格关于存在无穷多自然数的证明，因为那个证明需要把自然数当作个体那样来处理。

· 对罗素来说，一个给定的自然数是否存在取决于宇宙中有多少个体，即非类对象；罗素和怀特海提出了一条无穷公理，该无穷公理陈述存在无穷多个体，它无法被证明，不是先天的、分析的，但对算术似乎是必要的，它保证了每个自然数以及它的后继的存在。

· 弗雷格证明了每个自然数存在，但他的证明是非直谓的，违反了类型上的限制，而罗素必须为每个自然数的存在假设足够多的个体的存在。

· n是一个自然数，当且仅当n属于每个包含0及它的每个成员的后继的（类型3的）类；这个定义是非直谓的，所有自然数的类是一个通过涉及类型3的“每个类”来定义的类型3的类。

· 罗素和怀特海提出了“分枝类型论”：一个类型1的类是“直谓的”，或0层的，即它可以不用到类而被定义；一个类型1的类是1层的，即它不是直谓的但可以只用到直谓的类而被定义；一个类型1的类是2层的，即它不是1层的但可以只用到1层的类而被定义，依此类推。

· 罗素和怀特海意识到他们不能在层的限制下充分发展出数学，因为一些至关重要的定义似乎需要非直谓定义，比如归纳原理。

· 罗素和怀特海提出了可化归公理：在每个类型中，对每个类都存在一个直谓的（0层的）类与它有相同的成员；可化归公理表明，在第一层以上不会再有新的类生成，这就允许罗素和怀特海把“所有类”的用语限制为“所有直谓的类”，然后开始那些算术基本原理的推导。

· 利用无穷公理和可化归公理，罗素和怀特海建立了标准的皮亚诺算术公理，因而建立了所有关于自然数的常见定理，并把这一成果推广到更高等的数学分支。

· 令m为自然数，整数＋m被定义为自然数上（对任意n）n＋m到n的二元关系；自然数是一个类的类（类型2的类），而而整数是一个自然数上的关系。

· 有理数被定义为反映整数之间比率的关系，分数m/n被定义为当xn＝ym时x和y两数之间所具有的关系；有理数和整数与自然数都不同，它是一个整数上的关系。

· 定义一个“切割”（section）为一个非空的有理数的类c并满足：（1）对所有有理数x和y，如果x属于c且y＜x，那么y属于c；（2）存在有理数z，满足对每个有理数x，如果x属于c，那么x＜z；（3）对每个有理数x，如果x属于c，那么存在有理数y属于c且x＜y，也就是说，一个切割是一个联结的、有界的、没有最大元的有理数的类。

· 切割对应于所谓的有理数上的戴德金分割，罗素把实数等同于切割（实数是一个有理数的类）；我们可以定义实数上的序关系以及加法和乘法运算，然后证明实数是一个全序域；特别地，我们可以得到完全性原理，即每个有界实数类都有一个最小上界。

· 对于实分析，罗素还需要一个选择公理：对任意由非空且两两不交的类组成的集合，至少存在一个类，正好含有此集合中每个成员中的各一个成员；就像无穷公理和可化归公理，选择公理无法仅从逻辑原理得出。

· 罗素定义一个复数为一个实数的有序对。

· 在逻辑学中，我们不研究特殊的事物或性质，而是形式地研究那些可被称为任何事物或性质的东西，逻辑是完全一般的和普适的。

· 在罗素的体系中，数的地位就取决于类的地位，而他否认了类的独立存在，它们是逻辑虚构，因此不是“世界的最终构成物”的部分；罗素背离了弗雷格在本体论上的实在论立场。

3.卡尔纳普和逻辑实证主义

· 密尔认为，数学是综合的和后天的，而逻辑实证主义者认为，数学是分析和先天的。

· 维特根斯坦、弗雷格和卡尔纳普等哲学家开发并完善了许多在数理逻辑和哲学领域中使用的工具和概念，其中最主要的洞见是把必然性和先天知识的来源定位于语言的使用中：必然的真是由定义而真，先天知识是语言使用的知识，达米特把这条道路称作哲学的语言学转向。

· 弗雷格认为数必然地独立于数学家而存在，而罗素认为数不存在，但经验主义者卡尔纳普认为，关于数的存在的形而上学问题不能通过观察来判定，并否认了关于数学对象存在性的争论的意义。

· 卡尔纳普指责哲学家们到目前为止都没有在普通科学语言术语中表述他们的问题，因此他们尚未成功地赋予本体论问题任何认知内容。

· 卡尔纳普的想法假设，科学具有最好的，甚至可能是唯一的通向真的路线，因而任何有意义的问题必须以科学的术语提出。

· 我们必须区分两种关于存在的问题：第一种是关于框架中的某个特定的实体之存在的问题（内部问题），第二种是把这些实体的系统作为整体来考虑其存在或实在性的问题（外部问题）。

· 内部问题和其可能的回答可以被公式化，这些回答可以通过纯逻辑方法或经验的方法找到，这取决于其框架是逻辑的抑或是事实的，而外部问题在需要仔细检查上是一个有问题的特征。

· 一个“语言框架”是形式地描绘一段话语的一种尝试，它包括一套精确的语法，以指示哪些表达式在该框架中是合法的句子，并且还包括这些句子的使用规则；某些规则可能是经验的，用以指示，其他的规则是逻辑的，指示什么推理是允许的以及哪些句子是可以断言的，后者被称为分析的真。

· 卡尔纳普则把他的系统视为一个语言框架，在开发一个框架的过程中，人们可以自由地约定系统的规则，只要那些规则是清晰明确的，因此卡尔纳普更喜欢拉姆塞的避免了可化归公理的非直谓的简单类型论。

· 卡尔纳普简单绘制了一个称为“数的系统”的语言框架，它的语法包括数字、变元和算术运算的符号，这个框架包含算术所需的“惯常的演绎规则”。

· 对于“数框架”，首先有内部问题，其回答不是通过基于观察的经验调查而得到，而是通过基于新的表达规则的逻辑分析，因此该回答是分析的。

· 卡尔纳普认为，关于数的实在性的外部问题是无意义的，最接近合法的问题是采纳一个给定的数框架的可行性，而这是一个实用主义的问题，即卡尔纳普的数框架相比其他框架（例如罗素的分枝类型论）是否更好地服务于科学的目的。

· 按照哥德尔和拉姆塞，非直谓定义可接受是因为数和类有一个独立的存在，而卡尔纳普在实用主义的基础上为非直谓定义作辩护，他的数框架对于科学目的远比分枝类型论来得方便。

· 逻辑实证主义者认为，数学的真并不由经验决定，数学的真是先天的，总是成立的，然而作为经验主义者，他们认为，每个事实性的问题必定最终由经验决定，所以逻辑实证主义者得出的结论是：数学的真没有事实性的内容。

· 逻辑实证主义者排除了先天可知的综合命题的可能性，一个命题是综合的，仅当它的真或假取决于经验的事实，而一个命题是分析的，即它的有效性仅取决于它所含的符号的定义。

· 欧几里得几何被构造为一个纯数学理论，它是一个卡尔纳普式的语言框架，其中的定理是分析的，由其定义而真；另外有实用主义的或科学的议题来考虑在物理学中采用这一框架而不采用某个非欧几何的适当性问题，而这不是一个数学问题。

· 数理逻辑的成功引导实证主义者去尝试一种证实的逻辑，能够把经验观察与科学和数学理论联系起来，但是目前还没有一种有说服力的证实逻辑出现；这些失败导致难以形式化实证主义的中心论题，即每个事实性的（非分析的）陈述都是可证实的。

· 卡尔纳普的学生蒯因认为，不存在分析陈述和综合陈述之间的区分，在决定有意义的陈述的真与假上，语言的角色和世界的角色并没有明确的区分。

· 蒯因提出一套关于科学语言的全盘的方案，其中观察、理论和数学陈述彼此联系，数学的真是以与科学的真和观察报告的真同样的方式而为真的，这些真不是必然的，也不是先天地被认识的。

· 对于卡尔纳普，在认识论上，数学命题可以被精确划分为一些自足的群，每个命题都连接着它的框架，框架的规则的知识正是关于所有的命题的真假的知识。

· 哥德尔不完全性定理是：如果D是可演绎的系统并且包含一定的算术，那么存在D的语言中的一些句子不能被D的规则判定，所以算术语言中的某些陈述在一个自然数框架规则的基础上是不可知的，没有数学理论能成为像卡尔纳普的语言框架被假想的那样自足的。

· 逻辑实证主义者的一个补救措施是保留这样的论题：数学陈述是由于它们的意义为真，而承认人们可以拥有必要的知识来理解一个给定的真命题，却不具备认识到它为真的智慧；这就需要一个丰富的并且开放的逻辑后承概念，在宣布一个对数学知识的理解之前必须先阐明这个后承概念。

4.当代观点

· 新逻辑主义者坚持下列观点：（1）数学真的重要核心是先天地可知的，通过从那些（几乎是）分析的或意义构成的规则推导而得；（2）这样的数学是一个关于对象的理想王国，它是客观的，在某种意义上独立于心灵的。

· 通过我们在使用数学语言时所表达的意思的知识，新逻辑主义者试图去重新解决传统逻辑主义中发现的问题。

· 新逻辑主义的方案是绕过弗雷格对外延的处理而直接在休谟原理上工作，休谟原理的右侧给出了左侧为真的条件，而左侧具有恰当的语法逻辑形式，至少有一些满足休谟原理的右侧的例子是只在逻辑基础上为真的。

· 从休谟原理我们得出：与自身不等的东西的数和与自身不等的东西的数是相等的；令“0”指称与自身不等的东西的数，我们就得到0＝0，因而零存在。

· 新逻辑主义者接着定义自然数1为概念“等于0”的数，定义自然数2为概念“等于0或1”的数，然后按照弗雷格的方式继续；这些自然数是不同的，因而在有穷领域里休谟原理不会被满足。

· 新逻辑主义者要求休谟原理是非直谓的，即惯用语“F的数”中变元F的具体取值可以是那些需要用到自然数来定义的概念。

· 怀特和海尔止步于声称休谟原理是逻辑真理（“普遍逻辑法则”），休谟原理不是由于其形式就是真的，也不是从被接受的逻辑法则推出的；怀特和海尔也没有声称休谟原理是一个对基数的定义，它既不是可消除的也不是非创造的。

· 新逻辑主义者声称，休谟原理是对自然数概念的分析，因此该方案保留了至少那些基础算术真的必然性，并且展示了这些真是怎样先天地被认识的。

· 与最初的弗雷格逻辑主义一样，新逻辑主义的方案只有在二阶逻辑（允许量化性质）确实是逻辑的前提下才有机会获得成功；新逻辑主义的问题是二阶逻辑的公理和规则在必要的意义上是否是分析的或意义构成的，抑或是没有实质上的认识论预设的。

· 新逻辑主义方案为至少一些抽象原理辩护，怀特承认他的计划要依靠一个附加条件，即接受通过抽象的概念构成。

· 布洛斯提出，没有一种非专门的方法用来区分像休谟原理那样的好的原理和像基本法则五那样的坏的原理，怀特的回应是界定并为某种保守原理辩护，这种保守原理会排除坏的抽象原理并且允许好的抽象原理，尤其是休谟原理。

二、形式主义

· 在“形式主义”之下的不同哲学在追寻一种主张，即数学的本质是对字符的操作，一个字符列表和一些所允许的操作的规则几乎穷尽了关于一个给定的数学分支所要说的一切。

1.基本观点和弗雷格的冲击

· 词项形式主义把数学看作是关于字符和符号（数字和其他语言形式）的系统，也就是说，词项形式主义把数学实体和它们的名字等同起来。

· 根据词项形式主义，数学有一个研究对象并且数学命题或真或假，而数学知识就是关于字符如何彼此关联以及它们在数学实践中怎样被操作的知识。

· 对于最简单等式0=0，词项形式主义者把它理解为“类型‘0’与自身相等”，这里的“类型”在语言学中是和“个例”相对的。

· 相比本体论的实在论（直接断言数存在），词项形式主义可以认为，类型不同于数，它们有直接的实例，即它们的个例，并且我们通过它们的个例来认识关于它们的事情。

· 海涅主张，我们把名字数赋予特定的有形记号，这样一来这些数的存在就是确定的，而托梅宣称，前述立场让我们摆脱了所有形而上学的困难；这是它提供给我们的优势。

· 弗雷格反对他们的观点，对于等式5+7=6+6，等号两侧的符号和类型不一样，这两个符号也不能指称相同的数，因为词项形式主义认为字符只指称它们自己，词项形式主义不能把记号解释为等同。

· 弗雷格站在词项形式主义立场上把等式解释为，在算术中，符号“5＋7”可以在任何地方被“6＋6”替代而不改变真值，也就是说，一个形式为“A＝B”的句子表示A对应的符号与B对应的符号在任何数学语境中都可以相互替代。

· 我们不能把实数等同于它们的名字，因为大多数实数没有名字；若把一个无理数展开为小数，得到的是一个无穷的对象，也不是一个语言符号。

· 词项形式主义可能引入一个关于有终止的小数之极限的理论，比如把π等同于符号“3”,“3.1”,“3.14”,…的极限，然而这样就很难看出词项形式主义的任何优势。

· 假设词项形式主义者成功解决了这个困难并且提出一种像样的实数语言的替代物，这种观点仍然只抓住了数学计算，而没有抓住数学定理。

· 游戏形式主义把数学实践比喻成一个玩弄语言字符的游戏；它的激进版本断言数学符号是无意义的，数学公式和句子不表示关于任何研究对象的真假命题；它的温和版本承认数学语言可能有某种意义，但这些意义对数学实践是无关的。

· 在游戏形式主义的语境中，“语言”和“符号”这样的词语容易引起误解；我们用语言谈论事物，通常这些事物不是语言本身，而符号在一般的用法下是用来表示某个东西；这正是游戏形式主义所否认的，因为数字不代表任何东西，或者它不代表任何东西也无妨。

· 弗雷格声称，他的逻辑学的目的之一是把正确的推理整理成系统，为此他提出了一套可以被形式地理解的演绎系统，而这促成了游戏形式主义的精致版本。

· 弗雷格指出，我们赋予句子的意义会使它们有趣，而且这种意义可以提示推理的策略；游戏形式主义者可能同意这一点，但会指出，数学表达式的意义对数学自身是外在的。

· 游戏形式主义者留下了一个令人气馁的问题：为什么数学游戏对科学如此有用？数学在数学内部中的应用也引起类似的问题：为什么复分析的游戏在实分析和算术的游戏中有用？

· 游戏形式主义很像科学哲学中的工具主义，根据工具主义，理论科学无非是一套为了预测可观察的物理世界的复杂工具，因此工具主义避免了要解释的关于理论实体知识的认识论问题，但有了一个未解决的问题，即解释为什么这个工具可以工作得这么好。

· 弗雷格认为，算术可以被应用，是因为它表达思想，而像象棋这样的游戏不表达思想，把算术从游戏提升到科学层次的只是可应用性。

· 托梅指出，算术的规则可能是为了某些应用的目的而选择的，但是这些应用对数学家来说是无关的；弗雷格的回应是：可应用性的问题不会因为形式主义者或甚至数学家拒绝处理它就消失。

2.演绎主义——希尔伯特的《几何基础》

· 弗雷格指出，我们无法得知，算术游戏的规则会引导我们从真到真，游戏的规则不能是任意的，而必须构建逻辑的推论。

· 一名演绎主义者接受弗雷格的观点，认为推理的规则必须保证为真，但他坚持各种数学理论的公理应该被当作似乎是任意约定的来处理；数学实践由判定未经解释的公理的逻辑推论构成，数学家可以自由地把数学的公理（和定理）当成无意义的，或者随意给它们一个解释。

· 我们应该区分逻辑词项（如“并且”和“如果…那么”）和非逻辑的（数学的）词项（如“数”和“集合”），逻辑词项按照其一般意义理解，而非逻辑词项则不予解释，或者被当作似乎是没有解释的来处理。

· 令Φ为算术的一条定理，按照演绎主义，Φ的“内容”是Φ从算术公理推得，演绎主义有时候被称作“如果那么主义”。

· 演绎主义与“逻辑是话题中立的”相符合，如果一个从前提集合Γ到结论Φ的推理是有效的，那么在任何使所有Γ中的前提为真的解释下Φ也为真，演绎主义的想法是略过解释而专注于推理。

· 根据演绎主义，数学什么都不是或者可以被当作是什么都不关于的，数学知识是从什么推出什么的知识，即逻辑的知识，应用一个数学分支的方法是通过发现使它的公理为真的解释。

· 演绎主义是一种与与几何学发展非常匹配，那些关键事件包括解析几何的出现和成功，以及作为回应的射影几何，纳入理想和想象元素的尝试，n维几何的发展，把非欧几何吸收进主流数学与欧氏几何并列而不是取而代之。

· 帕什认为，在进行推理的时候，几何学应该以形式化的方式出现，而无需依赖直观或者观察。

· 希尔伯特在《几何基础》中指出，直观和观察的角色被明确地限定为动机并且是启发式的，一旦那些公理被形式化，直观和观察就被排除，因为它们并不是数学的一部分；任何东西都可以扮演点、线、面等未定义的初始词项的角色，只要公理被满足。

· 希尔伯特的几何学公理化的一个主要的特征是公理方法在抽象的数学观的精神下被呈现和实践，这种数学观在于对词项直观意义的抽象以及以假言的意义理解公理化理论的论断（定理），即对任意满足公理的解释为真。

· 一套公理系统不是一套关于研究主题的陈述的系统，而是一套关于关系结构的条件的系统，这里逻辑依赖关系本身成为被思考的对象。

· 形式语言和演绎系统被公式化得足够清楚和严格，以至于它们自己可以被作为数学对象来研究，因而数学家可以证明关于形式系统的东西，这种努力被称为元数学。

· 使用解析几何中的方法，希尔伯特在《几何基础》中利用实数构造了一个所有这些公理的模型，因而证明了这些公理是“相容的”，即这些公理是可满足的。

· 希尔伯特给出了一系列模型，在其中他的一条公理为假，但其他的公理成立，由此证明了每条公理相对其他公理独立。

· 元数学的目标是阐明一种名为形式语言和公理化的研究对象，这样元数学似乎是演绎主义主题（主张数学不需要研究对象）的一个例外。

· 对演绎主义者来说，一种解决方案是主张元数学不是数学，但元数学可以被公式化，而且元数学在形式语言和演绎系统上的应用与它作为一个数学分支的本质是不相干的。

· 根据弗雷格，定义应该给出意义并且确定词项的所指，而公理和定理永远不可能试图去确定在它们里面出现的一个词项的意思，而要求它必须已经被确定了。

· 希尔伯特为像“点”、“线”和“面”等词项提供的是隐定义或功能定义，即通过几个项之间彼此的关系同时特征化它们，一个成功的隐定义会抓住一个结构，但是弗雷格并不采纳这种观念，至少不把它作为定义。

· 对希尔伯特来说，一个公理集的一致性足以使它们构成数学的一个合法的分支，一致性是数学家所需要的全部“真”和“存在”。

3.有穷主义——希尔伯特计划

· 希尔伯特计划有一个明确的认识论目标，即一劳永逸地建立起对数学方法的确信，它将建立在先前公理化各个数学分支的工作以及严格逻辑系统之上，这一计划背后的想法是要仔细严格地形式化数学的每个分支及其逻辑，然后去研究该形式系统以确认它们是一致的。

· 希尔伯特计划的核心是“有穷元算术”，它的判断是有意义的，它们具有研究对象，这些研究对象就是那些具体的符号本身，其结构是直接地清晰和可识别的。

· 有穷元算术包含的陈述所提到的性质和关系都是能行可判定的，即存在一种算法来计算是否具有这些性质和关系。

· 只具有有界量词的句子是有穷元的（能行可判定的），包含由字母来表示的概括的句子也是有穷元的，但这种句子没有有穷元否定。

· 希尔伯特认为，数学不可能只建立在逻辑之上，有穷元算术考虑的是某种意义上是人类思维（甚至逻辑演绎）的前提，而这是为了一致地思考。

· 希尔伯特更希望有穷元算术中研究的字符被理解为抽象的型而非物理的例次，“具体的符号”是在观念中被给出的，而且就像被直接经验到的那样是先于所有思维而被直观到的。

· 希尔伯特认为，有穷元算术的主题对所有人类思维来说是本质的，这里和康德的想法类似。

· 第一个超越有穷元算术的领域由含有无界量词的关于自然数（或字符）的陈述组成，这包括含有用来概括的字母的有穷元陈述的否定，然后有了实分析、复分析、泛函分析、几何、集合论等等，希尔伯特把所有这些封为“理想数学”。

· 数学由两种公式组成：第一种是那些有意义的有穷元陈述的表达所对应的公式，第二种是不表示任何东西的公式，它们是我们理论的理想模型。

· 理想数学每个分支的句法和推理规则将被精确地形式化，而该分支将被当作似乎是一种字符游戏来研究，这里实质演绎被一种由规则控制的形式的程序所代替，这些“规则”来自于像由弗雷格这样的逻辑学家所开发的演绎系统中。

· 对形式化的理想数学分支的唯一的严格要求是，人们不能用它导出一个对应于假的有穷元陈述的公式，即形式系统应该是有穷元算术的保守扩张。

· 形式化理论T是一致的是指，利用T的公理和规则不可能导出矛盾公式，如果每一个真的有穷元陈述对应于T的一条定理且T使用标准的演绎系统，那么T 的保守性等价于它的一致性，所以理想数学的要求就是一致性。

· 对希尔伯特计划至关重要的是，把自然数同字符等同起来使有穷元算术可以应用于元数学，形式系统自身现在也处于有穷元算术的范围之中。

· 如果T是一个形式化的公理系统，那么T是一致的这一陈述本身是有穷元的，利用概括的字母可以公式化；T是一致的这一陈述有这样的形式：a不是T中的一个推理，其最后一行是“0≠0”。

· 希尔伯特计划的最后一步是给出那些完全形式化的数学理论的有穷元的一致性证明，一旦对理论T 完成这一步，我们就达到了认识论的目的。

· 冯·诺依曼给出了一份希尔伯特计划的简要概括，涉及4个步骤：（1）枚举所有数学和逻辑中用到的符号；（2）明确地特征化这些符号的所有表示经典数学中被归为“有意义的”陈述的组合，这些组合被称为“公式”；（3）提供一种构造程序，它使我们能够成功地构造所有对应于经典数学中“可证”陈述的公式，这种程序被称为“证明”；（4）（以一种有穷元的方式）证明那些对应于经典数学的陈述的公式（这一对应可以用有穷元算术的方法来检查）可以由（3）中描述的程序证明，当且仅当对其所对应陈述的检查显示它是真的（这一点是有问题的）。

4.不完全性

· 哥德尔（第一）不完全性定理对希尔伯特计划的认识论目的给予了致命打击，它的表述如下：令T为一个包含一定量算术的形式演绎系统，并假设T的句法是能行的，即存在一种算法来判定一组给定的字符序列是否是一条符合语法的公式和一种算法，以判定一组给定的公式序列是否是一个T中合法的演绎；在T的语言中存在一个句子G，使得（1）如果T是一致的，那么G不是T的定理；（2）如果T具有比一致性更强一点的性质，称为“ω-一致性，那么G的否定不是T的定理，也就是说，如果T是ω-一致的，那么它无论如何都无法判定G。

· 该公式G具有有穷元陈述的形式，所以如果T是一致的，那么G是真的但不可证，因此哥德尔的结果摧毁了找到单个形式系统来把握所有经典数学或只是所有算术的希望。

· 哥德尔证明了不完全性定理背后的推理可以在给定的形式系统T之中重新演绎，如果“在T中可证”的公式化满足某些简单的要求，那么我们可以在T中推出一句这样的句子：如果T是一致的，那么G不能从T中推出。

· 由于“G不能从T中推出”等价于G，因此我们可以在T中推出一句这样的句子：如果T是一致的，那么G，而这与哥德尔（第一）不完全性定理相矛盾。

· 如果T是一致的，那么一个人不可能在T中推出“T是一致的”这句所需的陈述，即任何一致的（含有一定量的算术的）理论都不可能证明自己的一致性，这就是哥德尔（第二）不完全性定理。

· 令PA为（理想的）算术，例如经典自然数理论的形式化，希尔伯特计划要求对PA的一致性给出一个有穷元证明，但是第二不完全性定理指出，如果PA确实是一致的，那么PA一致性的直接陈述在PA自身中无法推出。

· 哥德尔之后对希尔伯特式的计划的辩护至少有两种选择，其一在第二不完全性定理证明中用到其他方法来表示一致性性质，而这种方式能避开第二不完全性定理；其二是去证明或声明，有穷元算术的方法不能在PA中或其他任何形式理论中被完全把握，即有穷元算术是天生非形式的。

5.科里

· 科里认为，随着一门数学分支的发展，在其方法论上会变得越来越严格，结果是该分支在形式演绎系统中被编集成典，科里把这种形式化的进程作为数学的本质。

· 科里声称，所有其他数学哲学都“依赖于形而上学的假设”，数学应该不受任何此类假设的限制，而只有形式主义没有额外的形而上学假设。

· 科里的形式主义的主要论点是，一个成熟的数学理论的论断不应该被解释为某一特定的演绎系统之中若干动作的结果，而应该是关于一个形式系统的论断。

· 对科里来说，数学是一门关于形式系统的客观科学，或者说数学就是元数学。

· 不同于希尔伯特，科里并不把元数学限于有穷元算术；他承认某种“直观”处于这种元数学中，但他声这种直观的形而上学本性是无关紧要的。

· 按照科里的观点，元数学本身也是数学的一个分支，它也应该被形式化，也就是说，元数学中的非有穷元结果应通过建立元数学的一个形式系统而被纳入考虑，并且把问题的结论解释为关于那个形式系统的定理。

· 对科里来说，不存在真正的关于一个给定形式系统的真的问题，而只存在关于引导我们对某个形式系统感兴趣而非另一个的考虑的问题，这个关于“兴趣”的问题在很大程度上是实用主义的。

· 科里提到三种形式系统的“可接受性的标准”：（1）前提的直观自明性，（2）一致性，（3）该理论整体的有用性。

· 科里认为，形式系统的一致性并不要求一个一致性的证明，即使不一致性被发现，这也不意味着这一理论被完全抛弃，而是意味着它的修改与提炼。

· 由于在接受一个形式系统之前没必要去证明一致性，科里的哲学不会受哥德尔第二不完全性定理的影响；由于科里并不把数学限制于单个形式系统，他的哲学也不受哥德尔第一不完全性定理影响。

· 科里式形式主义的反对者质疑其观察（即随着某个数学分支的发展并变得严格，它就会被形式化）的哲学意义，一些逻辑学家坚持认为，在形式主义中一些本质的东西丢失了。

三、直觉主义

· 直觉主义试图把对排中律的教条的坚持解释为：经典逻辑对一组广泛的简单日常现象而言的实践的有效性，这个事实造成了一种强烈的印象，以至于经典逻辑被看作不仅是有用的还是先天的。

· 直觉主义一方面精细化逻辑，另一方面谴责把逻辑作为真的来源；直觉主义数学是内在的建筑学，而数学基础的研究是内在的查问。

1.修正经典逻辑

· 数学实践本质上是一种精神活动，数学家的主要工具是他们的心灵。

· 令Φ为一命题，那么相应的排中律的实例就是命题，或者是Φ或者不是Φ所说的情况，记作Φ或非Φ；直觉主义是用以指那些对排中律提出异议的数学哲学的一般术语。

· 包括排中律的常见的逻辑系统被称作是经典的，遵循经典逻辑的数学被称作经典数学，而没有排中律的较弱的逻辑被称为直觉主义逻辑，而对应的数学是直觉主义数学。

· 直觉主义逻辑缺少其他一些依赖排中律的原理和推论，其中之一是双重否定消去法则，它允许人们从Φ的否定的否定推出Φ；运用直觉主义逻辑，一个人可以从Φ推出非非Φ，但反过来不行。

· 直觉主义者认为，排中律及其相关推理显示了对数学对象的独立存在和对数学命题独立于数学家而为真或为假的信念，排中律是本体论的实在论和真值的实在论的推论。

2.老师——布劳威尔

· 布劳威尔是康德主义的，他将康德哲学封为“一种旧式的直觉主义”，尽管康德不批判数学实践。

· 布劳威尔与希尔伯特都指出，如果一个人专注于有穷元算术的实践，那么经典的途径与直觉主义的途径之间并没有太多差异，但是希尔伯特与布劳威尔之间存在实质的和无法调和的分歧。

· 直觉主义与形式主义的不同在于对数学科学的“精确有效性”的来源的不同回答：直觉主义者说，在人类理智中，而形式主义者说：在纸上。

· 对布劳威尔来说，与对康德来说一样，大部分数学真不能得到“分析的证明”，它们不能仅仅通过概念分析而被认识，并且它们并非由于意思而为真，所以大量的数学是综合的；数学的真是先天的，独立于任何特殊观察或其他我们可能具有的经验。

· 布劳威尔是本体论上的反实在论者和真值上的反实在论者，并且他绝不是经验主义者，像康德一样，布劳威尔试图在实在论和经验主义之间锻造一种综合体。

· 布劳威尔重申了康德的主要话题，人类不是被动的自然观察者，而是在组织经验的过程中扮演了一个积极的角色，数学关注的就是这种积极的角色。

· 布劳威尔承认，19世纪数学的发展使康德对于几何的观点站不住脚，严格性的产生引发了认为逻辑推理是独立于内容的观念，对射影几何多解释的发展也支持了只有几何定理的逻辑形式有关系的观点，这让“纯直观”在几何学中没有了空间。

· 非欧几何的出现和被接受使布劳威尔抛弃了康德的空间观，取而代之的是，他提出把所有的数学建立在康德式的时间观上，其根本的观点可能是把自然数建立在时间知觉的形式上。

· 布劳威尔陈指出，时间观这种基本直觉把“联系的和分离的”东西统一起来，每个时刻都是独一无二的，又仍然是与每个其他时刻相联系的；这种原始直觉还使“连续的和离散的”东西统一起来并且立即就引起了线性的连续统的直觉，时间的各时刻是截然不同的，但它们仍然是连续地流逝的。

· “在…之间”的概念引出了有理数，并最终引出实数，我们先天地知道任何两个时刻之间存在第三个，时间的连续统不会被插入新的单位所耗尽，因而不能被想成仅仅是一些单位的聚集，因此自然数和实数（离散的和连续的）都建立在时间的直觉之上，这就产生了算术和实分析。

· 布劳威尔按照标准的笛卡尔式的技巧，通过将点定义为数对而把几何建立在实数上，这就使普通平面和立体几何以及非欧几何和n维几何得以成为先天综合的，所以几何学最终也基于时间的直觉。

· 布劳威尔非常明确地认为，数学的本质是理想化的精神的构造，布劳威尔对排中律的摒弃来源于他对数学采取构造的观念。

· 令P为自然数上的性质，并且考虑命题：存在自然数n满足P对n成立；用符号表示即∃nPn；对直觉主义者来说，这条命题只有当一个人证明了如何构造一个具有性质P的自然数n才能被确立。

· 对于双重否定┐┐∃nPn，只有当一个人证明了假设┐∃nPn是矛盾的才被确立，而从假设┐∃nPn构造一个矛盾不是去构造一个自然数n满足Pn，所以布劳威尔认为，双重否定消去是无效的。

· 布劳威尔承认，经典分析可能是“适于科学的”，但它比直觉主义分析具有“更少的数学真”，因为经典分析违背了依赖心灵的数学构造的本质，这是在数学和经验科学间做出的大胆的分离。

· 布劳威尔把对排中律的信念追溯到“本体论的实在论”，证明经典数学合法性的各种方法都根据同一个主导观念，即对数学对象世界的存在的预设，这是一个独立于思考着的个体的世界，它服从经典逻辑的法则。

· 布劳威尔认为，数学实践源自人的心灵的内省，一句传统观念论哲学的口号是“存在即被感知”，直觉主义一句相应的口号是“在数学中存在即被构造”。

· 直觉主义者理解的是，排中律原理相当于全知的原理：任何某性质与某数学实体的搭配都可以被判断，即被证明或导出谬误，而布劳威尔的论证是，我们不是全知的，所以我们不应该假设排中律。

· 一个数学实体的定义是非直谓的，是指它涉及包含这个实体的集合；对一个直觉主义者来说，非直谓定义是恶性循环，我们不能运用包含一个数学实体的集合来构造这个实体。

· 布劳威尔反对把数学实体的集合当作似乎它们是完成了的全体来考虑，因为数学家并没有完成对一些常用集合中的所有元素的构造。

· 在他生涯的早期，布劳威尔把实数等同于由一个规则给出的小数扩张，“0和1之间的实数”这个概念意味着在小数点后构造一个初等数列的规则，这一规则有一组有穷的运算序列构成。

· 布劳威尔在规则决定的序列上又补充了“自由选择序列”，这是一种“创造的主体”，它具有自由地在一串展开中的选择序列后构造更多成员的能力。

· 规则决定的序列和自由选择的序列的都只是潜无穷，而不是实无穷。

· 任何关于一个给定实数的定理必须得归自于该实数的有穷多的信息；对规则决定的序列，数学家可以运用那些规则去确定相应实数的一些事实；对自由选择序列，不存在规则，因而数学家在任一时刻所具有的关于它的信息只是该序列的一个有穷前段。

· “弱反例方法”是指直觉主义者通过证明某条经典数学原理会导致排中律的实例来驳斥该条原理，比如对“存在从实数到实数的不连续函数”的驳斥。

· 考虑函数g 满足，当x是有理数时gx＝0，而当x 是无理数时gx＝1；令c为任意实数，如果c是一个自由选择序列，就无法判断c是否是有理数；如果c是由规则决定的，那么在一些情况下也许有可能通过关于该规则的推理去判定c是否是有理数，从而判断是否gc＝0，但是并不存在一般性的方法来计算gc；g的存在导致了不该有的排中律实例，因此g的定义对直觉主义者是不合法的。

· 与从康德的数学哲学走出来的趋势并列的是越来越明显的专注于数学的语言和逻辑的趋势，布劳威尔冲击了这个趋势，语言只不过是一种为了交流精神所构造的不完美的媒介，并且正是这些构造才构成了数学的本质。

3.学生——海丁

· 海丁发展了一套严格的直觉主义逻辑的形式化系统，这个系统被称作“海丁谓词演算”。

· 海丁认为，从经典逻辑背后的形而上学假设（真值的实在论）来看，经典数学的语言最好被理解为（客观的）真的条件，由于对二值性的拒斥，这样的语义学对直觉主义是不合适的，直觉主义的语言应该被理解为证明的条件，这个语言系统被称为海丁语义学。

· 很多排中律的实例似乎无法在海丁语义学中得到合法性证明；此外，一个人只有给出构造那样一个x的方法，才能证明以“存在一个x”开头的句子，这是主流直觉主义主题的形式化。

· 海丁同意布劳威尔关于宣扬精神构造而贬低语言和逻辑的观点，和布劳威尔一样认为语言是交流真实的数学构造的不完美的媒介，而且逻辑依赖于数学。

· 海丁认为，经典数学依赖于下述“形而上学”原则：数学的对象独立于数学家而存在并且数学真是客观的和永恒的；唯一避免“形而上学难题困局”的方法是“把它们从数学中排除”，海丁谴责经典数学家通过排中律把形而上学的论证牵扯进来。

· 数学是依赖于人的心灵的，在对精神的数学构造的学习中，“存在”必须与“被构造”同义。

· 海丁承认，如果自由选择序列被丢弃，那么直觉主义数学将是无力的，而如果没有排中律，经典数学也将是无力的。

· 海丁比布劳威尔更为折中，认为直觉主义数学理应有一个与经典数学“并列的”位置，他的直觉主义不要求对数学的“垄断”，只要经典数学家“承认”直觉主义观念的“正当性”就满足了。

4.达米特

· 布劳威尔和海丁都认为，语言对于精神数学构造的交流（数学的真正本质）是一种不完美的媒介，而达米特研究数学及其逻辑的主要路径从一开始就是语言学的，他的哲学兴趣更多地在于直觉主义逻辑而非数学上的事情。

· 达米特认为，任何关于哪种逻辑正确的考虑必须最终取决于意义的问题，从一系列前提做出推论的规则源于前提中的一些词项（“逻辑词项”）的意义，逻辑推理是分析的或意义构成的。

· 达米特认为，数学陈述的意义决定了它的使用并且完全被它的使用所决定，一个陈述的意义只是由它作为个人间交流的工具的作用所构成的。

· 对语言的常识的看法支持了达米特的明示需要，即任何人要理解一个表达式的意义，必须能够通过他的行为，通过他对该表达式的使用来证明其理解，理解不应该是不可说的。

· 形式主义者反对对经典逻辑的排中律的修正，他们认为正确的数学实践可以被编入形式演绎系统，而直觉主义者认为证明本来就是非形式的。

· 达米特也反对对经典逻辑的排中律的修正的，它的“整体论”观点是，追问任何单个陈述的内容都是不合法的，因为每个陈述的意义都由它与语言中其他区域的其他陈述之间的多种连接形成的整体所修饰，没有一种方法可以批判一个特定的陈述而不批判整个语言。

· 一个典型的语义学是组合的，即一个符合陈述的语义内容通过分析它的各部分的语义内容而得到，例如在塔斯基语义学中，一个复杂公式的真值条件通过其子公式的真值条件而得到定义。

· 为了满足表明的需要，达米特认为，可证实性或可断言性应该取代真作为成分语义学的主要元素，如果条件下的每个句子都可以被证实或断言的话，语言使用者大概就可以表明他们对这些条件的理解了，而在数学中，证实就是证明。

· 达米特对语义学整体论的替代品是为“分子”语义学，单个句子所承载的属于它的内容对应于它被它自己的各组成元素复合起来的方式，这独立于语言中其他不涉及这些组成元素的句子。

· 对语言的分析可能揭示出逻辑算子使用中的不一致，达米特和特纳特论证了逻辑算子被引入证明的典型方式与经典原理和推理相冲突，即分别引入否定和析取算子（和证明一个人对其意义的把握）的规则并没有证明当这些连接符复合起来时排中律的合法性。

· 达米特和特纳特指出，直觉主义逻辑得到了语义学上的合法性证明，而经典逻辑没有。

· 在达米特式的框架中，经典数学的主要预设是存在或可能存在不能被认识的真，达米特的观点有时候被称作全局语义反实在论，他指出（至少在理论上）所有真都是可知的。

· 每个自然数或者是质数或者是可分解的是直觉主义算术的一条定理，理由是我们有一种有穷的方法来判定一个数是否是质数，这个方法如何可行是无关紧要的。

· 从海丁语义学到对经典逻辑的否定的路径依赖某种对人类数学能力的悲观主义，如果人类能够判定每个合式的数学陈述的真值，那么经典逻辑终将盛行。

· 达米特的直觉主义处在是严格的有穷主义观点，即我们只能理解我们确实证明了的东西，也是一种强健的乐观主义，即数学家可以判定每个清晰的数学句子Φ是真是假。

· 达米特指出，如果他的结论是可靠的，那么它们可以支持在所有论述中采用直觉主义逻辑，而布劳威尔和海丁同意经典逻辑对关于独立于心灵的对象的有穷集合的日常推理是合适的。

· 达米特定义一个概念是无限可扩展的，是指不可能描绘出该概念可应用其上的对象的范围，即任何描绘这个概念外延的企图都会引出一个不在该描绘中的概念的实例。

· 达米特认为，哥德尔的不完全性定理证明了算术真的概念是无限可扩展的，事实上任何实质的数学领域都是无限可扩展的，不存在实无穷，只有潜无穷。

· 达米特认为，经典逻辑只可应用于那些不是无限可扩展的领域，这一结论部分是基于对数理逻辑，特别是对模型论的分析得出的；经典逻辑对经典模型论的可靠性证明预设了这样一个领域是有限而非无限可扩展的，因此经典逻辑理论不能应用于数学，因为其量词范围是无限可扩展的。

参考文献

夏皮罗，《数学哲学》