为什么8位有符号定点数的表示范围是-128~127?

本文写作时长3小时

计算机中,定点数的表示法有三种:原码,反码,补码。99%的计算机使用补码表示。

由于无符号定点数的原码,反码,补码都是一样的,所以也所谓什么原反补了。

原码

有符号数的原码表示

最高位为符号位,其余位数表示数值
符号位占据位7(第8位),剩余7位表示值

正数部分

最大为0111 1111,十进制为127
0000 00000111 1111+0+127,共128个数

负数部分

最小为1111 1111,十进制为-127
1111 11111000 0000-127-0,共128个数

0的表示法

1000 0000 ,十进制为-0
0000 0000,十进制为+0
0的表示法用原码有两种形式,这是不行的

关于运算

试试用原码进行1+(-1)运算

0000  0001
1000  0001
1000  0002

结果等于-2,wrong

假定+0-0是两个数
8位有符号数的原码可以表示256个数
然而+0-0是没有意义的,认为是一个数的话,就是255个数

无符号数的原码表示

由于没有符号位,所以8位都是数值位
最小0000 0000,十进制为0
最大1111 1111,十进制为255
范围是0~255,共256个数

反码

反码规定:正数部分的反码与原码相同,负数部分的反码除去符号位各位取反

有符号数的反码表示
负数部分

原码表示
1111 11111000 0000
所以反码(去除符号位,各位取反)为
1000 00001111 1111

正数部分

原码表示
0000 00000111 1111
反码(和原码相同)为
0000 00000111 1111

范围是1000 0000~0111 1111-127~127
也是256个数

关于0的表示

反码的0也有两种
1111 11110000 0000
看来反码也不行啊 (○´・д・)ノ <table>

关于运算

看看1+(-1)的问题解决了吗

0000  0001
1111  1110
1111  1111

等于0,运算问题解决了,但是0的表示法的问题依旧没有解决

无符号数的反码表示

与原码相同

补码

补码规定:正数部分的补码与原码相同,负数部分的补码为除去符号位反码+1

有符号数的补码表示
负数部分

原码
1111 11111000 0000
反码(去除符号位,各位取反)
1000 00001111 1111
补码 (反码+1)
1000 00011000 0000(溢出)

正数部分

原码表示
0000 00000111 1111
反码(和原码相同)为
0000 00000111 1111
补码(和原码相同)
0000 00000111 1111

关于0的表示

按照这个规则其实0的表示还是两种
1000 00000000 0000

只不过,1000 0000规定为-128
所以0的表示就唯一了

负数部分:1000 00001000 00011111 1111
就是 -128-127-1,所以就是-128-1
正数部分:0000 00000111 1111
就是0127

整体就是-128-127,嗯,可以

关于运算

1+(-1)

0000  0001
1111  1111
0000  0000(溢出)

刚好是0000 0000

至此,运算问题解决,0的表示问题解决。那就补码了。

为什么要有原码,反码,补码?

有很多原因,只单单从本文角度简单地来说
原码:解决数值的符号问题
反码:解决相同数值正负相加不等于0的问题
补码:解决0的表示不唯一的问题

参考链接:
https://www.zhihu.com/question/20159860/answer/71256667

注意:
** 补码的推导过程(本文,以及绝大多数教材)并不完全正确。如果单单从上述观点去理解补码,是理解不了补码的,上述观点只是从结果的某一方面来说,简单粗暴的进行补码推导。**

假如从原理来讲,先看这个,以后再做补充
https://www.zhihu.com/question/28685048/answer/41735701

理解有限,欢迎指正!

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