科普:我是如何理解并推导出薛定谔方程的

前几天有几位朋友说薛定谔的方程式是怎么来的,这里我以我的思路来简单地推导出薛定谔的方程,其实推导有几种方法,不过我比较喜欢这种推导形式,我觉得这看起来比较直观,我们知道既然ψ(x,t)是波函数,那么它应该满足一个波动方程,薛定谔在非相对论情况下得到了一个ψ(x,t)所应满足的方程,称为薛定谔方程,利用自由电子的平面波函数ψ(x,t)=Aexp(ikx-iωt),我们尝试得到薛定谔方程,先对时间求导一次得:aψ/at=-iωψ=-iEψ/h(普朗克的角频率转化而来的)。

我们再对空间取二阶导数,并利用拉普拉斯算符▽²(读成Nebla也行)及德布罗意关系p=hk(这公式的来源非常简单,是p=nh/λ),得:▽²ψ=-p²ψ/h²利用非相对论能动关系我们又有:E=p²/2m(这个公式非常重要,用动能和动量的关系来自己推导出来吧,非常简单)得:-h²▽²ψ/2m=ih.аψ/аt这就是自由电子遵从的方程,设外加势场为U(x,t),导出一般形式的薛定谔方程有:E=p²/2m+U(x,t),得:ihаψ/аt=(-h²▽²/2m+U)ψ=Hψ这就是含时薛定谔方程,其中H称为哈密顿算符,当外场不随时间而变时其波函数可写为Ψ(x,t)=ψ(x)f(t),代入薛定谔方程中:-h²▽²ψ(x)/2m+Uψ(x)f(t)=ihdf/dt用ψ(x)f(t)遍除上式各项,得:[-h²▽²ψ(x)/2m+U(x)ψ(x)]/ψ(x)=(ih/f)(df/dt)此式左边只是空间坐标的函数,看右边的话它只是时间坐标的函数,两者相等要求等于同一个常数记为E

有:(ih/f)df/dt=E这个方程的通解为f(t)=exp(-iEt/h),可见E具有能量量纲,正是系统能量的可能取值。第二个方程即为Hψ=Eψ称为定态薛定谔方程,可见,当外场不随时间变化时Ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt/h),这样的状态称为定态,定态解重要的是ψ(x),而exp(-iEt/h)只是一个相因子,不改变模长,因此系统的概率分布不随时间而变,这正是定态的意义,常将ψ(x)称为定态波函数,但ψ本身指的是概率幅!


最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 215,634评论 6 497
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 91,951评论 3 391
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 161,427评论 0 351
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 57,770评论 1 290
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 66,835评论 6 388
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 50,799评论 1 294
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 39,768评论 3 416
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 38,544评论 0 271
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 44,979评论 1 308
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 37,271评论 2 331
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 39,427评论 1 345
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 35,121评论 5 340
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 40,756评论 3 324
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 31,375评论 0 21
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 32,579评论 1 268
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 47,410评论 2 368
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 44,315评论 2 352

推荐阅读更多精彩内容