题目

难度：★★★★☆
类型：数学
方法：动态规划

传送门

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例

输入:
[
[0,0,0],
[0,1,0],
[0,0,0]
]
输出: 2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

解答

与上一道题不同的是，这里在网格里面增加了障碍物，我们可以把这个问题看做动态规划问题。

定义与输入网格相同大小的矩阵dp，矩阵中每个元素[i, j]代表机器人走到该位置的所有可能性。

初始条件

对于第一行和第一列元素，由于机器人只能向下或向右行走，因此在向右或者向下行走的过程中，只要碰到障碍物，则障碍物右边或者下面的所有dp矩阵中的元素填充为0，即代表不可能走到这些位置。

状态转移

到达某位置[i, j]的可能性总数由到达该位置左边[i-1, j]和上面一个位置[i, j-1]的可能性总和来确定。

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

特殊情况

当遇到障碍物时，该位置填充为零，代表到达该位置的可能性为零种。

最后情况

最后返回矩阵中最右下角的位置即可。

class Solution(object):
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
        """
        :type obstacleGrid: List[List[int]]
        :rtype: int
        """

        m = len(obstacleGrid)           # 列
        n = len(obstacleGrid[0])        # 行

        if obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0

        # 第一个位置
        obstacleGrid[0][0] = 1

        # 填充第一列
        for i in range(1,m):
            obstacleGrid[i][0] = int(obstacleGrid[i][0] == 0 and obstacleGrid[i-1][0] == 1)

        # 填充第一行
        for j in range(1, n):
            obstacleGrid[0][j] = int(obstacleGrid[0][j] == 0 and obstacleGrid[0][j-1] == 1)

        # 状态转移
        # cell[i][j] = cell[i - 1][j] + cell[i][j - 1]
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                if obstacleGrid[i][j] == 0:
                    obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i-1][j] + obstacleGrid[i][j-1]
                else:
                    obstacleGrid[i][j] = 0

        # 选取最后一个
        return obstacleGrid[m-1][n-1]

例如对于输入矩阵：

        [
        [0, 0, 0, 1],
        [0, 1, 0, 0],
        [0, 0, 0, 0],
        ]

则最后到达每个位置的可能矩阵为：

        [
        [1, 1, 1, 0], 
        [1, 0, 1, 1], 
        [1, 1, 2, 3]
        ]

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