行列式的计算方法专题小结

熟练掌握行列式的性质，再结合一些技巧来计算行列式。该文简单介绍几种行列式的计算方法：通过按行(列)展开，或者通过添加行列使得行列式转化为递归式，此时可通过简单递归或者联立等式来求得原行列式；通过观察行列式，如果行和或列和相等的话，可以通过提出行和，再消去一行一列；将一个行列式分解成两个行列式的乘积，或者两个行列式的和，再结合行列式的性质及其他计算方法分别求出行列式；最后的参数法也是非常的巧妙，会将行列式转化为函数问题。行列式的计算技巧性很强，平时多积累，是非常好的思维训练素材。

按某一行(列)展开

计算行列式 (Hessenberg型行列式)
$\mathbf{D_n}= \left|\begin{array}{cccccc} x&-1&0&\ldots&0&0\\ 0&x&-1&\ldots&0&0\\ 0&0&x&\ldots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&x&-1\\ a_n&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_2&x+a_1\\ \end{array}\right|$

解析：按第一列展开
$\begin{aligned} \mathbf{D_n}&=x\cdot \left|\begin{array}{cccccc} x&-1&\ldots&0&0\\ 0&x&\ldots&0&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\ldots&x&-1\\ a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_2&x+a_1\\ \end{array}\right|+a_n\cdot(-1)^{n+1}(-1)^{n-1}\\ &=x\cdot{\mathbf{D_{n-1}}}+a_n\\ &=x[x\cdot{\mathbf{D_{n-2}}}+a_{n-1}]+a_n\\ &=x^2\mathbf{D_{n-2}}+a_{n-1}x+a_n\\ &=\cdots\\ &=x^{n-2}\mathbf{D_2}+a_3x^{n-3}+a_4x^{n-4}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\\ \\ \mathbf{D_2}&=\left|\begin{array}{cc} x&-1\\ a_2&x+a_1\\ \end{array}\right|\\ &=x^2+a_1x+a_2 \end{aligned}$
所以
$\mathbf{D_n}=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+a_3x^{n-3}+a_4x^{n-4}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$

添加一行(列)

计算行列式： $\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1^2&x_1x_2&\ldots&x_1x_n\\ x_2x_1&1+x_2^2&\ldots&x_2x_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_nx_1&x_nx_2&\ldots&1+x_n^2\\ \end{array}\right|$

解：添加一行一列 $\begin{aligned}D_n&= \left|\begin{array}{ccccc} 1&x_1&x_2&\ldots&x_n\\ 0&1+x_1^2&x_1x_2&\ldots&x_1x_n\\ 0&x_2x_1&1+x_2^2&\ldots&x_2x_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&x_nx_1&x_nx_2&\ldots&1+x_n^2\\ \end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{ccccc} 1&x_1&x_2&\ldots&x_n\\ -x_1&1&0&\ldots&0\\ -x_2&0&1&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -x_n&0&0&\ldots&1\\ \end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{ccccc} 1+x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2&x_1&x_2&\ldots&x_n\\ 0&1&0&\ldots&0\\ 0&0&1&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&1\\ \end{array}\right|\\ &=1+\sum_{i=1}^nx_i^2 \end{aligned}$

该行列式也可以通过拆分为两个行列式之和，然后分别求两个行列式。可参考“行列式的拆分”

逐行(列)求和

计算行列式：
$\left|\begin{array}{cccc} 1+x&2&\ldots&n\\ 1&2+x&\ldots&n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&2&\ldots&n+x\\ \end{array}\right|$

解：
$\begin{aligned} \left|\begin{array}{cccc} 1+x&2&\ldots&n\\ 1&2+x&\ldots&n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&2&\ldots&n+x\\ \end{array}\right| &=\left|\begin{array}{cccc} x+\sum_{i=1}^ni&2&\ldots&n\\ x+\sum_{i=1}^ni&2+x&\ldots&n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x+\sum_{i=1}^ni&2&\ldots&n+x\\ \end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{cccc} 1&2&\ldots&n\\ 1&2+x&\ldots&n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&2&\ldots&n+x\\ \end{array}\right|\cdot[x+\frac{n(n+1)}{2}]\\ &=\left|\begin{array}{cccc} 1&0&\ldots&0\\ 1&x&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&0&\ldots&x\\ \end{array}\right|\cdot[x+\frac{n(n+1)}{2}]\\ &=[x+\frac{n(n+1)}{2}]\cdot{x^{n-1}}\\ &=x^n+\frac{n^2+n}{2}x^{n-1} \end{aligned}$

行列式的“因式分解”

计算行列式： $\left|\begin{array}{cccc}a_1-b_1&a_1-b_2&\ldots&a_1-b_n\\ a_2-b_1&a_2-b_2&\ldots&a_2-b_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n-b_1&a_n-b_2&\ldots&a_n-b_n\\ \end{array}\right|$

解： $\begin{aligned}D&= \left|\begin{array}{cccc} a_1-b_1&a_1-b_2&\ldots&a_1-b_n\\ a_2-b_1&a_2-b_2&\ldots&a_2-b_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n-b_1&a_n-b_2&\ldots&a_n-b_n\\ \end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{cccc} a_1&-1&\ldots&0\\ a_2&-1&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_n&-1&\ldots&0\\ \end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{cccc} 1&1&\ldots&1\\ b_1&b_2&\ldots&b_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\ldots&0\\ \end{array}\right|\\ &=\begin{cases}(a_2-a_1)(b_2-b_1),\quad n=2\\0,\quad n>2\end{cases} \end{aligned}$

设 $S_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k$ ，其中 $k$ 为任意非负整数，证明： $D= \left|\begin{array}{cccc} S_0&S_1&\ldots&S_{n-1}\\ S_1&S_2&\ldots&S_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ S_{n-1}&S_n&\ldots&S_{2n-2}\\ \end{array}\right|=\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_i-x_j)^2$

证明： $\begin{aligned}D&=\left|\begin{array}{cccc}1&1&\ldots&1\\x_1&x_2&\ldots&x_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\ldots&x_n^{n-1}&\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{cccc}1&x_1&\ldots&x_1^{n-1}\\1&x_2&\ldots&x_2^{n-1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_n&\ldots&x_n^{n-1}&\end{array}\right|\\&=\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_j-x_i)\cdot\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_j-x_i)\end{aligned}$

行列式的拆分

计算行列式： $\left|\begin{array}{ccccc} x&b&b&\ldots&b\\ c&x&b&\ldots&b\\ c&c&x&\ldots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c&c&c&\ldots&x\\ \end{array}\right|$

解： $\begin{aligned}D_n&= \left|\begin{array}{ccccc} x&b&b&\ldots&b\\ c&x&b&\ldots&b\\ c&c&x&\ldots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c&c&c&\ldots&x\\ \end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{ccccc} c+(x-c)&b&b&\ldots&b\\ c&x&b&\ldots&b\\ c&c&x&\ldots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c&c&c&\ldots&x\\ \end{array}\right|\\ &=c\cdot\left|\begin{array}{ccccc} 1&b&b&\ldots&b\\ 1&x&b&\ldots&b\\ 1&c&x&\ldots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&c&c&\ldots&x\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccccc} x-c&b&b&\ldots&b\\ 0&x&b&\ldots&b\\ 0&c&x&\ldots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&c&c&\ldots&x\\ \end{array}\right|\\ &=c\cdot\left|\begin{array}{ccccc} 1&0&0&\ldots&0\\ 0&x-b&0&\ldots&0\\ 0&c-b&x-b&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&c-b&c-b&\ldots&x-b\\ \end{array}\right|+(x-c)\cdot D_{n-1}\\ &=c(x-b)^{n-1}+(x-c)D_{n-1} \end{aligned}$ 同理可得 $D_n=b(x-c)^{n-1}+(x-b)D_{n-1}$ 联立两个等式，消去 $D_{n-1}$ 得 $(b-c)\cdot D_n=b(x-c)^n-c(x-b)^n$ 所以当 $b\neq c$ 时 $D_n=\frac{b(x-c)^n-c(x-b)^n}{b-c}$ 而 $b=c$ 时 $D_n=[x+(n-1)b](x-b)^{n-1}$

计算行列式： $\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1^2&x_1x_2&\ldots&x_1x_n\\ x_2x_1&1+x_2^2&\ldots&x_2x_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_nx_1&x_nx_2&\ldots&1+x_n^2\\ \end{array}\right|$

解： $\begin{aligned}D_n&=\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1^2&x_1x_2&\ldots&0\\ x_2x_1&1+x_2^2&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\ldots&1\\ \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1^2&x_1x_2&\ldots&x_1x_n\\ x_2x_1&1+x_2^2&\ldots&x_2x_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_nx_1&x_nx_2&\ldots&x_n^2\\ \end{array}\right|\\ &=D_{n-1}+x_n^2\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1^2&x_1x_2&\ldots&x_1\\ x_2x_1&1+x_2^2&\ldots&x_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_1&x_2&\ldots&1\\ \end{array}\right|\\ &=D_{n-1}+x_n^2\left|\begin{array}{cccc} 1&0&\ldots&0\\ 0&1&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_1&x_2&\ldots&1\\ \end{array}\right|\\ &=D_{n-1}+x_n^2\\ &=\cdots\\ &=1+x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \end{aligned}$

参数法

求 $D_n= \left|\begin{array}{ccccc} x_1&a&\ldots&a&a\\ b&x_2&\ldots&a&a\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ b&b&\ldots&x_{n-1}&a\\ b&b&\ldots&b&x_n\\ \end{array}\right|$

解：记 $D_n(t)=\left|\begin{array}{ccccc} x_1+t&a+t&\ldots&a+t&a+t\\ b+t&x_2+t&\ldots&a+t&a+t\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ b+t&b+t&\ldots&x_{n-1}+t&a+t\\ b+t&b+t&\ldots&b+t&x_n+t\\ \end{array}\right|=D_n+t\cdot r$
其中 $t$ 与 $r$ 无关。分别取 $t=-a$ 和 $t=-b$ ，可得：
$D_n(-a)=D_n-a\cdot r=\prod_{i=1}^n(x_i-a)\\D_n(-b)=D_n-b\cdot r=\prod_{i=1}^n(x_i-b)$ 两式联立消去 $r$ 可得 $D_n=\frac{a\prod_{i=1}^n(x_i-b)-b\prod_{i=1}^n(x_i-a)}{a-b}$

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