公式

自然对数的底 e

e =\lim_{n\rightarrow \infty } \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n}
欧拉数 e = 2.718283···
以e为底的对数logey为自然对数，记为㏑y.

y = e x （欧拉e函数） 等价于 x = In y（自然对数）
举例：对 a = 10，有 ln a = 2.302585···

如果a>0 是任意一个底，那么对所有实数x，有：
a_{x} = e^{x\: ln\, a}

求和符号

\sum_{k=0}^{n}a_{k} := a_{0} + a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}

求积符号

\prod_{k=0}^{n} a_{k} := a_{0}a_{1}a_{2}\cdot \cdot \cdot a_{n}

有限几何级数

a+aq+aq^2 + \cdot \cdot \cdot + aq^n = a \frac{1-q^{n+1}}{1-q}, n = 1,2,\cdot\cdot\cdot

算数级数

 算数级数的和 等于 首相与尾项之和乘以总项数的一半
\sum_{k=0}^{n}(a+kd) = \frac{n+1}{2}(a+(a+nd))

二项式

  • 二项式系数 （Binomial Coefficient）
    \binom{\alpha }{k} := \frac{\alpha}{1}\cdot \frac{\alpha-1}{2}\cdot \frac{\alpha-2}{3}\cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\alpha-k+1}{k}

  • 公式(a+b)n
    \left ( a + b \right )^{n} = a^{n} + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} + \cdot\cdot\cdot + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^{n} \\= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}

  • 公式(a-b)n
    \left ( a - b \right )^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(-1)^{k}a^{n-k}b^{k}

    image.png
二项式系数的性质
  • 对称法则
    \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
  • 加法法则
    \binom{\alpha}{k} = \binom{\alpha}{k + 1} = \binom{\alpha + 1}{k + 1}

\mathbb{I}(f(x_{i})=y_{i})

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