能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性

膜振动问题，总能量由动能与位能两部分组成，他们都可用二重积分来表达，其和称为能量积分.
膜的动能为
$\displaystyle U=\dfrac{1}{2}\underset{\Omega}{\iint}\rho u_{t}^2\text{d}x\text{d}y$
其中 $\Omega$ 是薄膜在 $Oxy$ 平面上的投影区域.

膜的位能为
$\displaystyle V=\underset{\Omega}{\iint}\left\{\dfrac{T}{2}\left[\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right]-Fu\right\}\text{d}x\text{d}y$

薄膜总能量可以写成
$\displaystyle E(t)=\underset{\Omega}{\iint}[u_{t}^2+a^2(u_{x}^2+u_{y}^2)]\text{d}x\text{d}y$
在没有外力的作用下，总能量应该守恒，因此有
$\dfrac{\text{d}E(t)}{\text{d}t}=0$
因此可以推出初边值问题的解的唯一性.
这里的初边值问题指的是：

$\begin{cases} u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})+f\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y)\\ u|_{\Gamma}=0\\ f=0 \end{cases}$

Thm1

波动方程初边值问题得解如果存在的话，它一定是唯一的.
$\begin{cases} u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})+f\\ u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y)\\ u|_{\Gamma}=0\\ \end{cases}$

能量不等式(能量估计式)：
$\displaystyle E(t)+E_0(t)\leqslant C\left(E(0)+E_{0}(0)+\int_{0}^{T}\underset{\Omega}{\iint}f^2\text{d}x\text{d}y\text{d}t\right)$

这个估计式是在假设解存在的前提下得到的，在偏微分方程理论中具有这种特点的估计式均成为先验估计式.

我们常以 $\|\varphi\|_{L^2(\Omega)}$ 和 $\|f\|_{L^2((0,T)\times\Omega)}$ 分别表示 $\displaystyle\left(\underset{\Omega}{\iint}\varphi^2\text{d}x\text{d}y\right)^{\frac12}$ 和 $\displaystyle\left(\int_{0}^{T}\underset{\Omega}{\iint}f^2\text{d}x\text{d}y\text{d}t\right)^{\frac{1}{2}}$

Thm2

波动方程初边值问题的解 $u(x,y,t)$ 在下述意义下关于初始值 $(\varphi,\psi)$ 与方程右端项 $f$ 是稳定的：对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，一定可以找到仅依赖于 $\varepsilon$ 和 $T$ 的 $\eta>0$ ，只要
$\begin{aligned} &\|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta,\;\;\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta\\ &\|\varphi_{1y}-\varphi_{2y}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta,\;\;\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\eta\\ &\|f_2-f_2\|_{L^2((0,T)\times\Omega)}\leqslant\eta \end{aligned}$
那么以 $(\varphi_1,\psi_1)$ 为初值， $f_1$ 为有段项的解 $u_1$ 与以 $(\varphi_2,\psi_2)$ 为初值、 $f_2$ 为右端项的解 $u_2$ 之差在 $0\leqslant t\leqslant T$ 上满足
$\begin{aligned} &\|u_1-u_2\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1x}-u_{2x}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon\\ &\|u_{1y}-u_{2y}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1t}-u_{2t}\|_{L^2(\Omega)}\leqslant\varepsilon \end{aligned}$

这个有点懵

Thm3

波动方程 $u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})+f$ 取初始条件
$\begin{cases} u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y) \end{cases}$
的柯西问题的解是唯一的.

Thm4

波动方程 $u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})$ 取初始条件
$\begin{cases} u|_{t=0}=\varphi(x,y)\\ u_{t}|_{t=0}=\psi(x,y) \end{cases}$
的柯西问题的解在下述意义下关于初始值是稳定的：对于任何给定的 $\varepsilon>0$ ，一定可找到仅依赖于 $\varepsilon$ 的 $\eta>0$ ，只要
$\begin{aligned} &\|\varphi_1-\varphi_2\|_{L^2(\Omega_0)}\leqslant\eta,\;\;\|\varphi_{1x}-\varphi_{2x}\|_{L^2(\Omega_{0})}\leqslant\eta,\\ &\|\varphi_{1y}-\varphi_{2y}\|_{L^2(\Omega_{0})}\leqslant\eta,\;\;\|\psi_1-\psi_2\|_{L^2(\Omega_0)}\leqslant\eta \end{aligned}$
则对应于初始值 $(\varphi_1,\psi_1)$ 的解 $u_1$ 与对应于初始值 $(\varphi_,\psi_2)$ 的解 $u_2$ 的差在 $0\leqslant t\leqslant\dfrac{R}{a}$ 上成立
$\begin{aligned} &\|u_1-u_2\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1x}-u_{2x}\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon\\ &\|u_{1y}-u_{2y}\|_{L^2(\Omega_{t})}\leqslant\varepsilon,\;\;\|u_{1t}-u_{2t}\|_{L^2(\Omega_t)}\leqslant\varepsilon \end{aligned}$
又在锥体 $K$ 上成立
$\displaystyle\|u_1-u_2\|_{L^2(K)}=\sqrt{\underset{K}{\iiint}(u_1-u_2)^2\text{d}x\text{d}y\text{d}t}\leqslant\varepsilon$ .

这一节也很懵.