1.电场的散度和旋度

基础的知识

库伦定律
$\mathbf{F}=\frac{Q Q^{\prime}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} \mathbf{r}$
数学高斯公式
$\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{A} d V=\int_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}$
就是下面这个形式：
$\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z+Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x+R \mathrm{d} x \mathrm{d} y$
斯托克斯公式
$\int_{S}(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d \mathbf{S}=\oint_{l} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}$

关于上面公式的证明

电场的旋度和散度

1. 由库伦定律可以算空间电场分布

可以根据 $\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{Q^{\prime}}$ 算出 $\mathbf{E}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} \mathbf{r}$

对于单电荷Q，空间电场为：
$\mathbf{E}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} \mathbf{r}$
对于多个电荷，将各个求和电场叠加：
$\mathbf{E}=\sum_{i} \frac{Q_{i} \mathbf{r}_{\mathbf{i}}}{4 \pi \epsilon_{0} r_{i}^{3}}$
如果对于连续体：
先定义连续体的电荷x'电的密度： $\rho\left(x^{\prime}\right)=\lim _{V '\rightarrow 0} \frac{d Q}{d V^{\prime}}$
则由 $dQ=\rho(x')d_{V'}$
$d{E(x)}=\frac{\rho\left(x^{\prime}\right) \mathbf{r}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} d V^{\prime}$
所以的得到连续体的电场分布,（其中 $\mathbf{r}=\mathbf{x}-\mathbf{x'}$ ）：
$E(x)=\int_{V^{\prime}} \frac{\rho\left(x^{\prime}\right) \mathbf{r}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} d V^{\prime}$

2.由库伦定律可以推导高斯定理

$\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}= \frac{Q}{\epsilon_{0}}$

证明过程如下：
$\mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}=E d S \cos \theta=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \cos \theta d S$
由立体角定义： $d \Omega=\frac{\cos \theta d S}{r^{2}}$
$\mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} } d \Omega$
所以： $\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{S} d \Omega=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$

3.电场散度

由高斯定律: $\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}= \frac{Q}{\epsilon_{0}}$ 和高斯公式: $\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{E} d V=\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}$
得：
$\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{E} d V=\int_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}= \frac{Q}{\epsilon_{0}}=\int_V \frac{\rho}{\epsilon_{0}}dV$

最后得到电场的散度公式：
$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon}$
需要注意一点的是，因为公式推导里面的V是任意的，所以电场散度公式对任意点成立【说法好像有点问题，之后修改---2020.3.1】
故有以下结论：

电场的散度只和该点的电荷有关，和远处的电荷⽆关
电荷只激发临近的电场，远处的场通过场的相互作⽤传递出去
库伦定律->由电荷分布可以求出电场分布，电场散度公式->由电场分布也可以求出电荷分布

4.静电场的环路定理

$\oint_\mathbf{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$

证明过程如下：

5.静电场的旋度

由静电场的环路定理 $\oint_\mathbf{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$ 和斯托克斯公式 $\int_{S}(\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d \mathbf{S}=\oint_{l} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}$
得：
$\int_{S}(\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d \mathbf{S}=\oint_{l} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}=0$

可以得到静电场的旋度公式：
$\nabla \times \mathbf{E}=0$
故有以下结论：

静电场是无旋场
散度和旋度刻画了电场的局域性质

其他证明过程：
$\nabla \times \mathbf{E}(x)=\int_{V^{\prime}} \frac{\rho\left(x^{\prime}\right)}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(\nabla \times \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\right) d V^{\prime}$

其中运用上面得旋度定义： $\nabla \times \frac{\mathbf{r}}{r^{3}}=\left(\partial_{y} \frac{z-z^{\prime}}{r^{3}}-\partial_{z} \frac{y-y^{\prime}}{r^{3}}\right) \mathbf{e}_{x}+\left(\partial_{z} \frac{x-x^{\prime}}{r^{3}}-\partial_{x} \frac{z-z^{\prime}}{r^{3}}\right) \mathbf{e}_{y}+\left(\partial_{x} \frac{y-y^{\prime}}{r^{3}}-\partial_{y} \frac{x-x^{\prime}}{r^{3}}\right) \mathbf{e}_{z}=0$

这是因为： $\partial_{x} \frac{y-y^{\prime}}{r^{3}}=\partial_{y} \frac{x-x^{\prime}}{r^{3}}=-\frac{3}{2} \frac{\left(x-x^{\prime}\right)\left(y-y^{\prime}\right)}{r^{5}}$
所以： $\nabla \times \mathbf{E}=0$