为什么用余弦相似度，而不是欧式距离？

一、为什么用余弦相似度，而不是欧式距离？

余弦相似度：取值范围[-1,1]
余弦距离=1-余弦相似度：取值范围[0,2]

余弦相似度在高维的情况下依然保持“相同时为1，正交时为0，相反时为-1”的性质。
欧式距离的数值受维度的影响，范围不固定，并且含义也比较模糊。
欧式距离体现数值上的绝对差异，而余弦距离体现方向上的相对差异。

二、余弦距离是否是一个严格定义的距离？

首先我们要知道距离的定义是什么：满足三条距离公理（正定性、对称性、三角不等式）。
（1）正定性：书中给的证明是证明余弦距离≥0，不太确定正定性是不是这个含义。
$dist(A,B) = 1- cosθ = \frac{||A||_2||B||_2-AB}{||A||_2||B||_2}$
因为 $||A||_2||B||_2-AB$ ≥0，所以dist(A,B)&GE;0恒成立，满足正定性。
（2）对称性：
$dist(A,B) = \frac{||A||_2||B||_2-AB}{||A||_2||B||_2} = \frac{||B||_2||A||_2-BA}{||B||_2||A||_2} =dist(B,A)$
满足对称性。
（3）三角不等式：
余弦距离不满足三角不等式，下面给出反例:A=(1,0) B = (1,1) C = (0,1)
$dist(A,B) = dist(B,C) =1- \frac{\sqrt{2}}{2}$
$dist(B,C) = 1$
从而有
dist(A,B)+dist(B,C) = 2- $\sqrt{2}$ ≤ 1=dist(A,C)
不满足三角不等式。
整理自：《百面机器学习》