向量和矩阵

title: 向量和矩阵

向量和矩阵

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \quad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$

向量的加

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{bmatrix}$
向量的乘法

$2 * \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2*1 \\ 2*2 \\ 2*3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\6 \end{bmatrix}$

向量的内积

向量的内积最终得到的是一个标量

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 32$

向量的范数

1. L1 范数对于一个 n 维向量

a = [a1, a2, a3, .., an]

L1(a) = |a1| + |a2| + ... + |an|

- 2. L2 范数 (欧氏距离)

$L2(a) = \sqrt{a1^2 + a2^2 + ...+ an^2}$

矩阵

矩阵的加法

$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22} \
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \
b_{21} & b_{22} \
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \
\end{bmatrix}
$$

矩阵的乘法（标量）

$k \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} \\ k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} \\ \end{bmatrix}$

矩阵的乘法（向量）

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} \\ a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} \\ \end{bmatrix}$

特征值和特征向量

给定一个n×n方阵A，如果存在一个标量λ和一个非零向量v，使得以下等式成立：
Av=λv

那么，λ就被称为矩阵A的一个特征值。

与特征值λ相对应的非零向量v被称为矩阵A的一个特征向量

定义矩阵 $u = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$

$e1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$e2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

u * e1 = 3 * e1 (3为特征值 e1为特征向量)

u * e2 = 5 * e2 (5为特征值 e2为特征向量)

方阵的计算

import numpy as np

A = np.array([[2, 1],
              [3, 4]])
# 使用numpy的eig函数计算特征值和特征向量
value, vector = np.linalg.eig(A)

print("特征值:", value)
print("特征向量:", vector)

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