一元二次函数

1、解析式

  • 三种表达式

一般式：y = ax^2+bx +c (a \neq 0)
顶点式：y = a(x+h)^2+k (a \neq 0)
交点式：y = a(x-m)(x-n) (a \neq 0)

2、图像

图像为抛物线，主要由三个重要的因素影响。以一般式y = ax^2+bx +c (a \neq 0)来研究，一般式经过整理变形可以变为顶点式，即为：y = a(x+\frac{b} {2a})^2+\frac {4ac-b^2} {4a} 。

  • 开口方向：a>0,开口向上；a<0,开口向下；
  • 对称轴：x= -\frac{b} {2a}
  • 顶点坐标：（x-\frac{b} {2a}，\frac {4ac-b^2} {4a}）

3、性质

以一般式y = ax^2+bx +c (a \neq 0)来研究，一般式经过整理变形可以变为顶点式，即为：y = a(x+\frac{b} {2a})^2+\frac {4ac-b^2} {4a}

  • a > 0时，开口向上

①当x \geq -\frac{b} {2a}时，y随x的增大而增大；
②当x \leq -\frac{b} {2a}时，y随x的增大而减小；
③当x = -\frac{b} {2a}时，y取得最小值，为\frac {4ac-b^2} {4a}；

  • a <0时，开口向下

①当x \geq -\frac{b} {2a}时，y随x的增大而减小；
②当x \leq -\frac{b} {2a}时，y随x的增大而增大；
③当x = -\frac{b} {2a}时，y取得最大值，为\frac {4ac-b^2} {4a}；
二次函数的顶点式和交点式，均可以化为顶点式，然后性质与一般式的研究方法一样。

4、抛物线与直线的交点

5、抛物线与一元二次方程之间关系

6、抛物线与一元二次不等式之间关系

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