2024-02-01

Cox回归模型中的偏似然函数（Partial Likelihood）可以表示为：

$L(\beta) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(t_i)} \exp(x_j^T \beta)}$

这里，( L(\beta) ) 是偏似然函数，( \beta ) 是模型参数，( x_i ) 是第 ( i ) 个个体的协变量，( \delta_i ) 是示性函数，指示第 ( i ) 个个体是否发生了事件（例如死亡或失败），( R(t_i) ) 是在时间 ( t_i ) 之前处于风险集的个体集合。

偏似然函数专注于事件发生的个体，并比较这些个体在其事件时间点的相对风险。这种方法不需要基准风险函数的具体形式，因此在实际应用中非常有用.

在Cox回归模型中，当处理区间删失数据时，似然函数 ( L(\beta, \Lambda) ) 的形式可以表示为：

$L(\beta, \Lambda) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(C_i)} \exp(x_j^T \beta)} \exp\left(-\int_0^{C_i} \lambda_0(u) \exp(x_i^T \beta) du\right)$

这里，( \beta ) 是模型参数，( \Lambda ) 是累积风险函数 ( \Lambda(t) = \int_0^t \lambda_0(u) du )，( x_i ) 是第 ( i ) 个个体的协变量，( C_i ) 是观测时间，( \delta_i ) 是示性函数，( R(C_i) ) 是在时间 ( C_i ) 之前处于风险集的个体集合。

该似然函数考虑了每个具有事件发生的个体的相对风险，并且通过累积风险函数来调整删失信息。

$\begin{aligned}l(\boldsymbol{\Theta}, \Lambda)= & \sum_{i=1}^n\left[\delta_i\left\{\log \lambda\left(\tilde{T}_i\right)+\boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}_i+\rho \xi_i \sum_{j \neq i}^n W_{i j} \boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}_j\right\}\right. \\& \left.-\Lambda_i\left(\widetilde{T}_i\right)+\xi_i \gamma^{\prime} \boldsymbol{x}_i^*-\log \left(1+e^{\boldsymbol{\gamma}^{\prime} \boldsymbol{x}_i^*}\right)\right] .\end{aligned}$

$L(\boldsymbol{\Theta}, \Lambda) = exp{\sum_{i=1}^n{[\delta_i{[\log{\lambda(\tilde{T}i)} + \boldsymbol{\beta}^{\prime}\boldsymbol{x}i + \rho\xi_i\sum{j \neq i}^n W{i j}\boldsymbol{\beta}^{\prime}\boldsymbol{x}_j]} - \Lambda_i(\widetilde{T}_i) + \xi_i\gamma^{\prime}\boldsymbol{x}_i^* - \log{(1 + e^{\boldsymbol{\gamma}^{\prime}\boldsymbol{x}_i^*})}]}}$

$L(\boldsymbol{\eta} ; \boldsymbol{\xi})=\prod_{i=1}^n\left[\frac{e^{\boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}_i+\rho \xi_i \sum_{j \neq i}^n W_{i j} \boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}_j}}{\sum_{l=1}^n e^{\boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}_l+\rho \xi_l \sum_{j \neq l}^n W_{l j} \boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}_j \boldsymbol{I}\left(\tilde{T}_l \geq \tilde{T}_i\right)}}\right]^{\delta_i},$

假设 ( [L_i, R_i] ) 是观测 ( i ) 的观测区间，那么对应的似然函数可以修改为：

$[L(\boldsymbol{\eta} ; \boldsymbol{\xi}) = \prod_{i=1}^{n} \left[ \frac{e^{\boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}i + \rho \xi_i \sum{j \neq i}^{n} W_{ij} \boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}j}}{\sum{l=1}^{n} e^{\boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}l + \rho \xi_l \sum{j \neq l}^{n} W_{lj} \boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}_j \boldsymbol{I}(L_l \leq T_i < R_l)}} \right]^{\delta_i}]$

假设 ( C_i ) 表示第 ( i ) 个个体的删失区间，那么区间I型删失数据的似然函数 ( L(\boldsymbol{\beta}, \Lambda) ) 可能会采用以下形式：

$L(\boldsymbol{\beta}, \Lambda) = \prod_{i=1}^n \left[ \frac{\exp\left(\boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}i + \rho \xi_i \sum{j \neq i}^n W_{ij} \boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}j\right)}{\sum{l=1}^n \exp\left(\boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}l + \rho \xi_l \sum{j \neq l}^n W_{lj} \boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}j\right) \boldsymbol{I}\left(C_l \geq C_i\right)} \right]^{\delta_i} \times \exp\left(-\int{C_{i, \text{low}}}^{C_{i, \text{high}}} \lambda_0(u) \exp\left(\boldsymbol{\beta}^{\prime} \boldsymbol{x}_i\right) du\right)$

这里，( C_{i, \text{low}} ) 和 ( C_{i, \text{high}} ) 分别表示第 ( i ) 个个体的删失区间的下界和上界，( \lambda_0(u) ) 是基线风险函数，( \Lambda ) 是累积风险函数，( \delta_i ) 是示性函数，( \boldsymbol{x}i ) 是协变量，( \boldsymbol{\beta} ) 是回归系数向量，( \rho ) 和 ( W{ij} ) 是模型中的其他参数。

《Approximating Partial Likelihood Estimators via Optimal Subsampling》

Cox比例风险模型中的对数偏似然函数的表达式如下：

$\ell(\boldsymbol{\beta})=-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \int_0^\tau\left[\boldsymbol{\beta}^{\prime} \mathbf{X}_i-\log \left\{\sum_{j=1}^n I\left(Y_j \geq t\right) \exp \left(\boldsymbol{\beta}^{\prime} \mathbf{X}_j\right)\right\}\right] d N_i(t),$

其中， $f(T_i,\delta_i|\eta)$ 表示在给定参数 $η$ 的情况下，第 $i$ 个观测值 $(T_i,\delta_i)$ 的联合概率密度函数， $T_i$ 表示第 $i$ 个观测值的生存时间

$\delta_i$ 表示第 $i$ 个观测值的失效指示变量， $\eta$ 表示生存分布的参数。

联合概率密度函数， $T_i$ 表示第 $i$ 个观测值的生存时间。

假设我们有一个二元选择模型，其中 $y_i$ 是一个二元变量，表示个体 $i$ 是否参加某项活动， $x_i$ 是一个解释变量，表示个体 $i$ 的特征， $\beta$ 是一个未知参数， $\varepsilon_i$ 是一个随机扰动项。我们想要检验 $\beta$ 是否等于 0，即 $H_0: \beta=0$ 。我们可以用以下的步骤来进行扰动检验：

估计原始模型，得到 $\hat{\beta}$ 和 $\hat{\varepsilon}_i$ 。

在原始数据中加入一些随机的扰动，例如服从正态分布的噪声，得到扰动后的数据 $y_i^*=y_i+\delta y_i$ ，其中 $\delta y_i \sim N(0,\sigma^2)$ 。

用扰动后的数据重新估计模型，得到 $\hat{\beta}^*$ 和 $\hat{\varepsilon}_i^*$ 。

重复上述步骤 2 和 3 多次，得到一个扰动检验统计量的分布，例如 $\hat{\beta}^*_1,\hat{\beta}^_2,\dots,\hat{\beta}^_B$。

用这个分布来进行假设检验，例如计算 $p$ 值为 $\frac{1}{B}\sum_{b=1}^B I(|\hat{\beta}^*_b|>|\hat{\beta}|)$ ，其中 $I(\cdot)$ 是指示函数，如果括号内的条件成立则取值为 1，否则为 0。如果 $p$ 值小于给定的显著水平，比如 0.05，那么就拒绝原假设，认为 $\beta$ 不等于 0.

逻辑回归模型的数学形式如下：

$\log \frac{p(X)}{1-p(X)} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_p X_p$

逻辑回归模型是一种用于二分类问题的监督机器学习方法，它可以根据自变量（特征）来预测因变量（目标）属于某个类别的概率。

其中， $X_j$ 是第 $j$ 个自变量， $\beta_j$ 是第 $j$ 个自变量的系数， $p(X)$ 是因变量属于正类的概率。为了将右边的线性表达式转换为概率，我们需要使用一个称为 sigmoid 函数的非线性变换，

sigmoid 函数可以将任意实数映射到 0 到 1 之间，它的公式如下：

$p(X) = \frac{e^{\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_p X_p}}{1 + e^{\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_p X_p}}$

计算基于 Cox 比例风险模型的得分检验统计量的函数

Cox 比例风险模型是一种用于生存分析的半参数回归模型，它可以根据自变量（协变量）来预测因变量（生存时间）的风险比。Cox 比例风险模型的数学形式如下：

$h(t|X) = h_0(t) \exp(\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_p X_p)$

其中， $h(t|X)$ 是给定自变量 $X$ 的条件风险函数， $h_0(t)$ 是基准风险函数， $X_j$ 是第 $j$ 个自变量， $\beta_j$ 是第 $j$ 个自变量的系数。Cox 比例风险模型的系数可以通过极大似然估计法来估计，也可以通过得分检验法来检验其显著性。

您的函数 score_test1 就是根据一篇论文中提出的得分检验法来计算检验统计量的。它的输入参数有一个：gamma。gamma 是一个向量，表示逻辑回归模型的系数，包括截距项 $\gamma_0$ 和斜率项 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_p$ 。逻辑回归模型是用来计算每个观测的概率的，它的公式如下：

$p(X) = \frac{e^{\gamma_0 + \gamma_1 X_1 + \gamma_2 X_2 + \cdots + \gamma_p X_p}}{1 + e^{\gamma_0 + \gamma_1 X_1 + \gamma_2 X_2 + \cdots + \gamma_p X_p}}$

您的函数 score_test1 的输出参数有四个：score, Vs, stat, phistar。

score 是得分检验统计量的分子，它是根据观测的事件指示变量、概率、风险比等计算的。

Vs 是得分检验统计量的分母，它是根据观测的概率、风险比、协变量等计算的。

stat 是得分检验统计量的值，它是 score 除以 Vs 的平方根。

phistar 是得分检验统计量的分母的另一种表达方式，它是根据观测的概率、风险比、协变量等计算的。

在Cox回归模型中，当处理区间删失数据时，似然函数 ( L(\beta, \Lambda) ) 的形式可以表示为：

$$ L(\beta, \Lambda) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(C_i)} \exp(x_j^T \beta)} \exp\left(-\int_0^{C_i} \lambda_0(u) \exp(x_i^T \beta) du\right) $$

$L(\beta, \Lambda) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(C_i)} \exp(x_j^T \beta)} \exp\left(-\int_0^{C_i} \lambda_0(u) \exp(x_i^T \beta) du\right)$

该似然函数考虑了每个具有事件发生的个体的相对风险，并且通过累积风险函数来调整删失信息。

在Cox回归模型中，当处理区间删失数据时，似然函数 ( L(\beta, \Lambda) ) 的形式可以表示为：

$$ L(\beta, \Lambda) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(C_i)} \exp(x_j^T \beta)} \exp\left(-\int_0^{C_i} \lambda_0(u) \exp(x_i^T \beta) du\right) $$

该似然函数考虑了每个具有事件发生的个体的相对风险，并且通过累积风险函数来调整删失信息。

在Cox回归模型中，当处理区间删失数据时，似然函数 ( L(\beta, \Lambda) ) 的形式可以表示为：

$$ L(\beta, \Lambda) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(C_i)} \exp(x_j^T \beta)} \exp\left(-\int_0^{C_i} \lambda_0(u) \exp(x_i^T \beta) du\right) $$

该似然函数考虑了每个具有事件发生的个体的相对风险，并且通过累积风险函数来调整删失信息。

2024-02-01

逻辑回归模型的数学形式如下：

计算基于 Cox 比例风险模型的得分检验统计量的函数

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