Cox回归模型中的偏似然函数（Partial Likelihood）可以表示为：
这里，( L(\beta) ) 是偏似然函数，( \beta ) 是模型参数，( x_i ) 是第 ( i ) 个个体的协变量，( \delta_i ) 是示性函数，指示第 ( i ) 个个体是否发生了事件（例如死亡或失败），( R(t_i) ) 是在时间 ( t_i ) 之前处于风险集的个体集合。
偏似然函数专注于事件发生的个体，并比较这些个体在其事件时间点的相对风险。这种方法不需要基准风险函数的具体形式，因此在实际应用中非常有用.
在Cox回归模型中，当处理区间删失数据时，似然函数 ( L(\beta, \Lambda) ) 的形式可以表示为：
这里，( \beta ) 是模型参数，( \Lambda ) 是累积风险函数 ( \Lambda(t) = \int_0^t \lambda_0(u) du )，( x_i ) 是第 ( i ) 个个体的协变量，( C_i ) 是观测时间，( \delta_i ) 是示性函数，( R(C_i) ) 是在时间 ( C_i ) 之前处于风险集的个体集合。
该似然函数考虑了每个具有事件发生的个体的相对风险，并且通过累积风险函数来调整删失信息。
假设 ( [L_i, R_i] ) 是观测 ( i ) 的观测区间，那么对应的似然函数可以修改为：
假设 ( C_i ) 表示第 ( i ) 个个体的删失区间，那么区间I型删失数据的似然函数 ( L(\boldsymbol{\beta}, \Lambda) ) 可能会采用以下形式：
这里，( C_{i, \text{low}} ) 和 ( C_{i, \text{high}} ) 分别表示第 ( i ) 个个体的删失区间的下界和上界，( \lambda_0(u) ) 是基线风险函数，( \Lambda ) 是累积风险函数，( \delta_i ) 是示性函数，( \boldsymbol{x}i ) 是协变量，( \boldsymbol{\beta} ) 是回归系数向量，( \rho ) 和 ( W{ij} ) 是模型中的其他参数。
《Approximating Partial Likelihood Estimators via Optimal Subsampling》
Cox比例风险模型中的对数偏似然函数的表达式如下：
其中，表示在给定参数
的情况下，第
个观测值
的联合概率密度函数，
表示第
个观测值的生存时间
表示第
个观测值的失效指示变量，
表示生存分布的参数。
联合概率密度函数，表示第
个观测值的生存时间。
假设我们有一个二元选择模型，其中 是一个二元变量，表示个体
是否参加某项活动，
是一个解释变量，表示个体
的特征，
是一个未知参数，
是一个随机扰动项。我们想要检验
是否等于 0，即
。我们可以用以下的步骤来进行扰动检验：
1.
估计原始模型，得到 和
。
2.
在原始数据中加入一些随机的扰动，例如服从正态分布的噪声，得到扰动后的数据 ，其中
。
3.
用扰动后的数据重新估计模型，得到 和
。
4.
重复上述步骤 2 和 3 多次，得到一个扰动检验统计量的分布，例如 $\hat{\beta}^*_1,\hat{\beta}^_2,\dots,\hat{\beta}^_B$。
5.
用这个分布来进行假设检验，例如计算 值为
，其中
是指示函数，如果括号内的条件成立则取值为 1，否则为 0。如果
值小于给定的显著水平，比如 0.05，那么就拒绝原假设，认为
不等于 0.
逻辑回归模型的数学形式如下：
逻辑回归模型是一种用于二分类问题的监督机器学习方法，它可以根据自变量（特征）来预测因变量（目标）属于某个类别的概率。
其中， 是第
个自变量，
是第
个自变量的系数，
是因变量属于正类的概率。为了将右边的线性表达式转换为概率，我们需要使用一个称为 sigmoid 函数的非线性变换，
sigmoid 函数可以将任意实数映射到 0 到 1 之间，它的公式如下：
计算基于 Cox 比例风险模型的得分检验统计量的函数
Cox 比例风险模型是一种用于生存分析的半参数回归模型，它可以根据自变量（协变量）来预测因变量（生存时间）的风险比。Cox 比例风险模型的数学形式如下：
其中，是给定自变量
的条件风险函数，
是基准风险函数，
是第
个自变量，
是第
个自变量的系数。Cox 比例风险模型的系数可以通过极大似然估计法来估计，也可以通过得分检验法来检验其显著性。
您的函数 score_test1 就是根据一篇论文中提出的得分检验法来计算检验统计量的。它的输入参数有一个：gamma。gamma 是一个向量，表示逻辑回归模型的系数，包括截距项 和斜率项
。逻辑回归模型是用来计算每个观测的概率的，它的公式如下：
您的函数 score_test1 的输出参数有四个：score, Vs, stat, phistar。
score 是得分检验统计量的分子，它是根据观测的事件指示变量、概率、风险比等计算的。
Vs 是得分检验统计量的分母，它是根据观测的概率、风险比、协变量等计算的。
stat 是得分检验统计量的值，它是 score 除以 Vs 的平方根。
phistar 是得分检验统计量的分母的另一种表达方式，它是根据观测的概率、风险比、协变量等计算的。
在Cox回归模型中，当处理区间删失数据时，似然函数 ( L(\beta, \Lambda) ) 的形式可以表示为：
$$ L(\beta, \Lambda) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(C_i)} \exp(x_j^T \beta)} \exp\left(-\int_0^{C_i} \lambda_0(u) \exp(x_i^T \beta) du\right) $$
这里，( \beta ) 是模型参数，( \Lambda ) 是累积风险函数 ( \Lambda(t) = \int_0^t \lambda_0(u) du )，( x_i ) 是第 ( i ) 个个体的协变量，( C_i ) 是观测时间，( \delta_i ) 是示性函数，( R(C_i) ) 是在时间 ( C_i ) 之前处于风险集的个体集合。
该似然函数考虑了每个具有事件发生的个体的相对风险，并且通过累积风险函数来调整删失信息。
在Cox回归模型中，当处理区间删失数据时，似然函数 ( L(\beta, \Lambda) ) 的形式可以表示为：
$$ L(\beta, \Lambda) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(C_i)} \exp(x_j^T \beta)} \exp\left(-\int_0^{C_i} \lambda_0(u) \exp(x_i^T \beta) du\right) $$
这里，( \beta ) 是模型参数，( \Lambda ) 是累积风险函数 ( \Lambda(t) = \int_0^t \lambda_0(u) du )，( x_i ) 是第 ( i ) 个个体的协变量，( C_i ) 是观测时间，( \delta_i ) 是示性函数，( R(C_i) ) 是在时间 ( C_i ) 之前处于风险集的个体集合。
该似然函数考虑了每个具有事件发生的个体的相对风险，并且通过累积风险函数来调整删失信息。
在Cox回归模型中，当处理区间删失数据时，似然函数 ( L(\beta, \Lambda) ) 的形式可以表示为：
$$ L(\beta, \Lambda) = \prod_{i: \delta_i=1} \frac{\exp(x_i^T \beta)}{\sum_{j \in R(C_i)} \exp(x_j^T \beta)} \exp\left(-\int_0^{C_i} \lambda_0(u) \exp(x_i^T \beta) du\right) $$
这里，( \beta ) 是模型参数，( \Lambda ) 是累积风险函数 ( \Lambda(t) = \int_0^t \lambda_0(u) du )，( x_i ) 是第 ( i ) 个个体的协变量，( C_i ) 是观测时间，( \delta_i ) 是示性函数，( R(C_i) ) 是在时间 ( C_i ) 之前处于风险集的个体集合。
该似然函数考虑了每个具有事件发生的个体的相对风险，并且通过累积风险函数来调整删失信息。
