问题起源

在进行路径追踪的过程中，需要使用到蒙特卡洛积分，其中需要我们选择采样的概率分布函数，初学时只需要使用均匀分布，也就是在对半球面积分时将设置为即可，这样子是能够得到结果的，但是理论上均匀分布计算出来的结果往往方差较大，具体呈现出来的结果就是噪声多，采样的质量差，需要更多次的采样才能得到较好的结果，后面学习到了重要性采样，知道这种方法能够显著改善结果，但是一直都未能理解。

均与分布的不足

用最简单的一元积分为例，对于下述的积分

使用最简单的均匀采样，在[a, b]上均匀间隔取N个点，然后将累加的均值作为估计值，则得到如下结果

如果我们抽样的次数趋近于无穷，也就是N趋近于无穷，则和定积分的定义是相近的含义，也可以判断出结果是准确的（可以严格证明是无偏的），但是我们实际N的取值不会很大，这就会造成最终结果的偏差，如何才能减小这个偏差呢？

重要性采样

重要性采样的方法能够在一定的抽样数量的基础上来增加准确率、减少方差，本质上是人为对抽样进行干预，例如下图

总结

最初接触重要性分布的时候总觉得无法理解，无法理解为什么均匀分布是不对的，直觉告诉我均匀分布看上去更加自然，更有一种“随机感”，同时也更加贴合学习定积分时切割求和的思想，通过寻找最理想的的表示，理解了蒙特卡洛积分本质上应该是大数定理的一种应用，纠正了过去的错误直觉。