树(Tree)
定义

    树(Tree) 是n个(n≥0)个结点的有限集。n=0时称为空树。
    在任何一个非空树中：
        (1) 有且仅有一个特定的称为根(root)的结点；
        (2) 当n>1时，其余结点可分为m个互不相交的有限集。(子树) 

结点分类

    结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)； 
    度为0的结点称为叶结点(Leaf) 或终端结点；
    度不为0的结点称为非终端结点或分支结点；
    除根结点之外，分支结点也称为内部结点；
    树的度是树内各结点的度的最大值。 

抽象数据类型

ADT 树(tree) 
Data 
    树是由一个根结点和若干棵子树构成。数中结点具有相同的数据类型和层次关系 
Operation
    InitTree(*T):
    DestroyTree(*T):
    CreatTree(*T,definition):
    ClearTree(*T):
    TreeEmpty(T):
    TreeDepth(T): 
    Root(T):
    Value(T,cur_e):
    Assign(T,cur_e,value):
    parent(T,cur_e):
    LeftChild(T,cur_e):
    RightSibling(T,cur_e):
    InsertChild(*T,*p,i,c):
    DeleteChild(*T,*p,i):
endADT

树的存储结构

双亲表示法:在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置

//  树的双亲表示法结点结构定义
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef char TElemType;             /*树结点的数据类型*/ 
typedef struct PTNode{              /*结点结构*/ 
    TElemType data;                 /*结点数据*/ 
    int parent;                     /*双亲位置*/ 
}PTNode;

typedef struct{                     /*树结构*/ 
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    /*结点数组*/ 
    int r,n;                        /*根的位置和结点数*/ 
}PTree;

每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点。(多重链表表示法)造成浪费

孩子表示法：把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构。则n个孩子有n个孩子链表。
如果是叶子结点则此单链表为空，然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组。

//  树的孩子表示法结构定义
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct CTNode{      /* 孩子结点 */ 
    int child;
    struct CTNode *next;
}*ChilePtr; 
typedef struct{             /* 表头结构 */ 
    TElemType data;
    ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct{             /* 树结构 */ 
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
    int r,n;                /* 根的位置和结点数 */ 
}Ctree;

孩子兄弟表示法：任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。
因此，设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

//  树的孩子表示法结构定义 
typedef struct CSNode {
    TElemType data;
    struct CSNode *firstchild,*rightsib;
}CSNode,*CSTree;

二叉树(Binary Tree)
是n个结点的有限集合，该集合或者为空集，或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

特点：

满二叉树：   
    在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的树叫~；
完全二叉树：
    对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

满二叉树一定是一棵完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满的。

满二叉树特点：
    叶子只能出现在最下一层；
    非叶子结点的度一定是2；
    在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。 
完全二叉树特点：
    叶子结点只能出现在最下两层；
    最下层的叶子一定集中在左部连续位置；
    倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续部分；
    如果结点度为1，则该结点只有左孩子，集不存在只有右子树的情况；
    同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。 

性质：

    性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点;
    性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点;
    性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1; 
    性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2 n|+1;(|x|为不大于x的最大整数)
    性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树，对任一结点i：
            1)如果i=1，则结点i是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点；
            2)如果2i>n，则结点i无左孩子，否则其左孩子是结点2i； 
            3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子，否则其右孩子是结点2i+1。

二叉树的存储结构

顺序存储结构：完全二叉树
链式存储结构：

/* 二叉树的二叉链表结点结构定义*/ 
/* lchild data rchild */ 
typedef struct BiTNode{             /* 结点结构 */
    TElemType data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

遍历二叉树：
二叉树的遍历(traversing binary tree)
指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被且仅被访问一次 ；

前序遍历：
若二叉树为空，则返回；否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树；

/* 二叉树的前序遍历递归算法 */ 
void PreOrderTraverse(BiTree T){
    if(T == NULL)
        return;
    printf("%c",T->data);
    PreOrderTraverse(T->lchild);
    preOrderTraverse(T->rchild);
}

中序遍历：
若二叉树为空，则返回；否则从根结点开始(注意不是先访问根结点) ，中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树；

/* 二叉树的中序遍历递归算法 */ 
void InOrderTraverse(BiTree T){
    if(T == NULL)
        return;
    InOrderTraverse(T->lchild);
    printf("%c",T->data);
    InOrderTraverse(T->rchild);
}

后序遍历：
若二叉树为空，则返回；否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点；

/* 二叉树的中序遍历递归算法 */ 
void PostOrderTraverse(BiTree T){
    if(T == NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);
    PostOrderTraverse(T->rchild);
    printf("%c",T->data);
}

层序遍历：
若二叉树为空，则返回；否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问；

建立二叉树：

/* 默认用户按前序遍历序列输入二叉树数据  */ 
/* #表示空树，构建二叉链表来表示二叉树T */
void CreatBiTree(BiTree *T) {
    TElemType ch;
    scanf("%c",&ch);
    if(ch=='#')
        *T=NULL;
    else{
        *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        if(!*T)
            exit(0);
        (*T)->data = ch;
        CreatBiTree(&(*T)->lchild);
        CreatBiTree(&(*T)->rchild);
    }       
}

线索二叉树(Threaded Binary Tree)
指向前驱和后继的指针称为线索，加上线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树就称为线索二叉树。
lchild ltag data rtag rchild
ltag为0时，指向该结点的左孩子，为1时指向该结点的前驱；
rtag为0时，指向该结点的右孩子，为1时指向该结点的后继；

线索二叉树的结构实现：

/* 二叉树的二叉线索存储结构定义 */
typedef enum{Link,Thread} PointerTag;   /*Link == 0 表示指向左右孩子指针 */
                                        /*Thread == 0 表示指向前驱或后继的线索 */ 
typedef struct BiThrNode{               /*二叉树线索存储结点结构 */
    TElemtype data;     
    struct BiThrNode *lchild,*rchild;
    PointerTag LTag;
    PointerTag RTag; 
}BiThrNode,*BiThrTree;

/*中序遍历进行中序线索化 */
BiThrTree pre;
void InThreading(BiThrTree p){
    if(p){
        InThreading(p->lchild);     /*递归左子树线索化 */
        
        if(!p->lchild){             /*没有左孩子 */
            p->LTag=Thread;         /*前驱线索*/
            p->lchild=pre;          /*左孩子指针指向前驱 */
        }
        
        if(!pre->rchild){           /*前驱没有右孩子 */
            pre->RTag=Thread;       /*后继线索 */
            pre->rchild=p;          /*前驱右孩子指针指向后继(当前结点p) */
        }
        
        pre=p;                      /*保持pre指向p的前驱 */
        
        InThreading(p->rchild);     /*递归右子树线索化 */
    }
}

/*中序遍历二叉线索链表表示的二叉树 */
Status InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T){
    BiThrTree p;
    p = T->lchild;
    while( P!= T){
        while( p->LTag == Link){
            p = p->lchild;
                }
            printf("%c",p->data);
        while( p->RTag == Thread && p->rchild != T){
            p = p->rchild;
            printf("%c",p->data);
        }
        p = p->rchild;
    }
    return Ok;
}

实例：创建一棵线索二叉树，并中序遍历该二叉树

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef char ElemType;

//  线索存储标志位
//  Link(0)：表示指向左右孩子的指针
//  Thread(1) ：表示指向前驱后继的线索
typedef enum {Link,Thread} PointerTag;

typedef struct BiThrNode {
    ElemType data;
    struct BiThrNode *lchild,*rchild;
    PointerTag ltag;
    PointerTag rtag;
} BiThrNode,*BiThrTree;

//  创建一棵二叉树，约定用户遵照前序遍历的方式输入数据
void CreatBiThrTree(BiThrTree *T) {
    char c;
    scanf("%c",&c);
    if(' ' == c)
        *T = NULL;
    else {
        *T = (BiThrNode *)malloc(sizeof(BiThrNode));
        (*T)->data = c;
        (*T)->ltag = Link;
        (*T)->rtag = Link;
        CreatBiThrTree(&(*T)->lchild);
        CreatBiThrTree(&(*T)->rchild);
    }
}

//  中序遍历线索化（递归）
BiThrTree pre;  //全局变量，始终指向刚刚访问过的结点

void InThreading(BiThrTree T) {
    if(T) {
        InThreading(T->lchild);

        if(!T->lchild) {
            T->ltag = Thread;
            T->lchild = pre;
        }

        if(!pre->rchild) {
            pre->rtag = Thread;
            pre->rchild = T;
        }

        pre = T;

        InThreading(T->rchild);
    }
}

void InOrderThreading(BiThrTree *p,BiThrTree T) {
    *p = (BiThrNode *)malloc(sizeof(BiThrNode));
    (*p)->ltag = Link;
    (*p)->rtag = Thread;
    (*p)->rchild = *p;
    if(!T){
        (*p)->lchild = *p;
    }
    else{
        (*p)->lchild = T;
        pre = *p; 
        InThreading(T);
        pre->rchild = *p;
        pre->rtag = Thread;
        (*p)->rchild = pre; 
    }
}
//  中序遍历二叉树，非递归 
void InOrederTraverse(BiThrTree T){
    BiThrTree p;
    p = T->lchild;
    while( p!= T){
        while( p->ltag == Link)
            p = p->lchild;
            
        printf("%c",p->data);
        
        while( p->rtag == Thread && p->rchild != T){
            p = p->rchild;
            printf("%c",p->data);
        }
        
        p = p->rchild;
    }
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    BiThrTree p,T = NULL;
    CreatBiThrTree(&T);
    InOrderThreading(&p,T);
    printf("中序遍历输出结果为：");
    InOrederTraverse( p ) ;
    printf("\n");

    return 0;
}

实例：创建一棵二叉树，并分别按前序、中序、后序方式遍历二叉树。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef char ElemType;
typedef struct BiTNode {
    char data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
} BiTNode,*BiTree;

//  创建一棵二叉树 ,约定用户遵照前序遍历的方式输入数据
CreateBiTree(BiTree *T) {
    char c;
    scanf("%c",&c);
    if(' '==c) {
        *T = NULL;
    } else {
        *T = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));
        (*T)->data = c;
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);
    }
}

//  前序遍历二叉树
PreOrderTraverse(BiTree T) {
    if( T ) {
        printf("%c",T->data);
        PreOrderTraverse(T->lchild);
        PreOrderTraverse(T->rchild);
    }
}

//  中序遍历二叉树
InOrderTraverse(BiTree T) {
    if( T ) {
        InOrderTraverse(T->lchild);
        printf("%c",T->data);
        InOrderTraverse(T->rchild);
    }
}
//  后序遍历二叉树
PostOrderTraverse(BiTree T) {
    if( T ) {
        PostOrderTraverse(T->lchild);
        PostOrderTraverse(T->rchild);
        printf("%c",T->data);
    }
}

int main(int argc, char *argv[]) {

    printf("建一棵二叉树 ,约定用户遵照前序遍历的方式输入数据\n");
    BiTree T = NULL;

    CreateBiTree(&T) ;
    printf("\n 前序遍历结果是：\n");
    PreOrderTraverse(T);
    printf("\n 中序遍历结果是：\n");
    InOrderTraverse(T);
    printf("\n 后序遍历结果是：\n");
    PostOrderTraverse(T);
    return 0;
}