有界区域上二阶线性椭圆方程解的存在性

感觉学得十分混乱, 所以有必要写一篇笔记来捋一捋自己的思路, 尽量做到以简驭繁. 这篇笔记只考虑实系数方程.

我们考虑的区域 $\mathbb{R}^d$ 中的一个有界区域 $\Omega$ , 即连通开集. 现在暂时不要求边界光滑, 所以正方体这种也在我们的考虑之列.

我们考虑一个映射 $L:{\cal D}'(\Omega)\rightarrow{\cal D}'(\Omega)$ , $u\mapsto Lu=\sum_{i,j}a_{ij}u_{x_ix_j}+\sum_ib_iu_{x_i}+cu$ , 其中实函数 $a_{ij},b_i,c\in C^\infty(\Omega)$ . 系数的假定可能有些过强, 但是为了语言上的方便我愿意做出这种牺牲, 尤其是为了使我们能够把 $L$ 理解成这种映射的形式而不必去讨论它的定义域. 另外对我而言, 在应用中我也尚未遇到过不光滑的系数, 所以这样得到的结论暂时是完全够用的.

我们还要假定 $L$ 是一致椭圆的, 即 $\exists\theta>0$ , 使得 $\forall x\in\Omega$ , $\forall\xi\in\mathbb{R}^n$ , 有 $\sum_{i,j}a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge\theta|\xi|^2$ .

先说一下什么叫解. 我们先引入一个最广义的解的定义, 我们称之为分布解. 设 $f\in{\cal D}'(\Omega)$ , 如果 $Lu=f$ (注意这个等号是 ${\cal D}'(\Omega)$ 中的等号), 那么我们称 $u$ 是一个分布解.

对方程 $\Delta u=0$ 而言, 它是泛函 $J(u)=\int_\Omega|\nabla u|^2dx$ 的Euler-Lagrange方程. 出于这个物理上的考虑, 我们希望所寻找的解应该至少落在 $H^1(\Omega)$ 里.

注意到如果 $u\in H^m(\Omega)$ , 由于 $L$ 是二阶的微分算子, 所以有 $Lu\in H^{m-2}(\Omega)$ . 如果 $u\in H^1(\Omega)$ , 那么 $Lu\in H^{-1}(\Omega)$ , 所以如果 $Lu=f$ 在 $\mathcal{D}'(\Omega)$ 中成立的话, 我们至少应该假定 $f\in H^{-1}(\Omega)$ .

现在我们来考虑边界条件. 如果边界条件是 $u|_{\partial\Omega}=0$ (即Dirichlet问题), 那么我们简单要求 $u\in H_0^1(\Omega)$ 即可. 其他边界条件暂时先不考虑.

把上面的讨论总结起来, 就是

定义1(弱解). 设 $a_{ij},b_i,c\in C^\infty(\overline{\Omega})$ , $L:\mathcal{D}'(\Omega)\rightarrow\mathcal{D}'(\Omega)$ 如前定义, $f\in H^{-1}(\Omega)$ . 如果 $u\in H_0^1(\Omega)$ 满足 $Lu=f$ ( $\mathcal{D}'(\Omega)$ 中的等号), 那么称 $u$ 是问题
$\left\{\begin{aligned} &Lu=f\\ &u|_{\partial\Omega}=0 \end{aligned}\right.$
的弱解.

注意到等式两端都是 $H^{-1}(\Omega)$ 内的元素, 故经过极限步骤, 我们知道试验函数可以取在 $H_0^1(\Omega)$ 内, 这样就得到和Evans一模一样的定义.

显然 $L|_{H_0^1}$ (为方便我们也直接记作 $L$ , 下文中的 $L$ 们到底是 $L$ 还是 $L|_{H_0^1}$ , 读者可以联系上下文选择合理的那个, 我每写下一个 $L$ 时总会斟酌使得总有一个是合理的)是 $H_0^1$ 到 $H^{-1}$ 的有界算子. 为了说明对任何 $f\in H^{-1}$ , 都存在 $u\in H_0^1$ 满足 $Lu=f$ , 我们只需要说明 $L$ 是满的.

为了说明 $L$ 是满的, 我们需要Lax-Milgram定理.

定理2(实的Lax-Milgram定理).设 $H$ 是 $\mathbb{R}$ 上的Hilbert空间, $B$ 是 $H\times H$ 上的双线性形式, 并且存在 $\alpha,\beta>0$ 使得 $\forall u,v\in H$ , $\left|B[u,v]\right| \le\alpha\|u\|\|v\|$ , $|B[u,u]|\ge\beta\|u\|^2$ , 则对任何 $f\in H^*$ , 存在唯一的 $u\in H$ 使得 $\forall v$ , $f(v)=B[u,v]$ .
证明. 见Riesz表示定理和Lax-Milgram定理. $\blacksquare$

在我们面对的情形里, 我们考虑的Hilbert空间为 $H_0^1$ , 双线性形式为 $B[u,v]=\langle -Lu,v\rangle$ . 因为 $u\in H_0^1$ 时, $Lu\in H^{-1}$ , 所以这个配对是没问题的. 只要我们能验证 $|\langle Lu,v\rangle|\le\alpha\|u\|_{H_0^1}\|v\|_{H_0^1}$ , $|\langle -Lu,u\rangle|\ge\beta\|u\|_{H_0^1}$ , 那么由上述定理, 对任何 $f\in H^{-1}$ , 都存在唯一的 $u\in H_0^1$ 使得 $Lu=f$ .

现在我们就来验证这个双线性形式的连续性和强制性是否成立. 连续性由 $\|Lu\|_{H^{-1}}\lesssim_{a_{ij},b_i,c}\|u\|_{H_0^1}$ 得到, 关于强制性, 我们有:

定理3(Gårding不等式). 存在 $C=C(L)>0$ 使得 $\forall u\in H_0^1$ , 有
$\langle -Lu,u\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}^2-C\|u\|_{L^2}^2$
这里的 $\theta$ 是 $L$ 的一致椭圆性的那个系数.

这看起来离强制性还差一点. 但是我们注意到当 $\lambda>C(L)$ 时, 有 $\langle(-L+\lambda)u,u\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}^2$ , 即 $-L+\lambda$ 伴随的双线性形式是有强制性的, 由此我们立刻得到如下定理:

定理4(第一存在性定理). 当 $\lambda>C(\lambda)$ 时(这里的 $C(\lambda)$ 是Gårding不等式中所定义的), 对任何 $f\in H^{-1}$ , 都存在着唯一的 $u\in H_0^1$ 使得 $(L-\lambda)u=f$ .

这个定理说明 $L-\lambda:H_0^1\rightarrow H^{-1}$ 是满的, 另外注意到 $L-\lambda$ 是有界的, 并且再由 $\langle(-L+\lambda)u,u\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}^2$ 得到 $\|(L-\lambda)u\|_{H_{-1}}\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}$ , 从而 $L-\lambda$ 是两个Banach空间之间的线性同胚.

第一存在性定理看起来不错, 但它没有回答 $Lu=f$ 的可解性. 为了回答这个问题, 我们接下来将会假设 $f\in L^2$ , 而不再是原先的 $f\in H^{-1}$ (因为没有能力做到 $H^{-1}$ 里的可解性).

在此之前, 我们还要引入 $L$ 的形式伴随 $L^*:\mathcal{D}'(\Omega) \rightarrow\mathcal{D}'(\Omega)$ , 定义为 $L^*u=\sum_{i,j}(a_{ij}v)_{x_ix_j}-\sum_i(b_iv)_{x_i}+cv$ . 分部积分告诉我们, 当 $u,v$ 一个属于 $\mathcal{D}'(\Omega)$ 一个属于 $C_c^\infty(\Omega)$ 时(无所谓顺序), $\langle Lu,v\rangle=\langle u,L^*v\rangle$ . 当 $u,v\in H_0^1$ 时, 可以取 $\{v_n\}\subset H_0^1$ 且在 $H_0^1$ 中 $v_n\rightarrow v$ . 来看 $\langle Lu,v_n\rangle=\langle u,L^*v_n\rangle$ , 该式左边由于 $Lu\in H^{-1}$ 可以知道是趋于 $\langle Lu,v\rangle$ 的, 右边由于 $L^*$ 是 $H_0^1$ 到 $H^{-1}$ 的有界线性算子知也趋于 $\langle u,L^*v\rangle$ , 故 $\langle Lu,v\rangle=\langle u,L^*v\rangle$ .

我们以下总假设 $\lambda>\max(C(L),C(L^*))$ , 那么此时 $L-\lambda,L^*-\lambda$ 是 $H_0^1$ 到 $H^{-1}$ 的线性同胚, $(L-\lambda)^{-1},(L^*-\lambda)^{-1}$ 是 $H^{-1}$ 到 $H_0^1$ 的线性同胚, 把它们限制到 $L^2\subset H^{-1}$ 上, 并且和 $i:H_0^1\hookrightarrow L^2$ 复合起来, 得到 $i(L-\lambda)^{-1}|_{L^2},i(L^*-\lambda)^{-1}|_{L^2}$ , 把这两个算子分别记作 $M,M^*: L^2\rightarrow L^2$ . 由紧嵌入定理, 当 $\partial\Omega\in C^1$ 时, $i$ 是紧的, 从而 $M,M^*$ 是紧的.

现在我们把 $Lu=f$ 改写为 $(L-\lambda)u+\lambda u=f$ , 两边作用 $(L-\lambda)^{-1}$ 得到 $u+\lambda Mu=Mf$ .

引理5. 设 $f\in L^2$ . 以下陈述是等价的:
(1)存在 $u\in H_0^1$ 使得 $Lu=f$ ;
(2)存在 $u\in L^2$ 使得 $u+\lambda Mu=Mf$ .
证明. (1)推(2): 把 $Lu=f$ 改写为 $(L-\lambda)u+\lambda u=f$ , 注意两边都属于 $H^{-1}$ , 故可以两边作用 $(L-\lambda)^{-1}$ 得到 $u+\lambda Mu=Mf$ .
(2)推(1): 由条件有 $u+\lambda(L-\lambda)^{-1}u=(L-\lambda)^{-1}f$ , 我们很想两边作用 $L-\lambda$ , 为此得先检查是不是每个元素都属于 $H_0^1$ . 显然 $\lambda Mu,Mf\in H_0^1$ , 故 $u\in H_0^1$ , 这样我们可以放心作用 $L-\lambda$ 得到 $Lu=f$ . $\blacksquare$

更一般地, 我们有

引理6. 设 $f\in L^2$ , 则:
(1) $u\in H_0^1,Lu=f\Leftrightarrow u\in L^2, u+\lambda Mu=Mf$ ;
(2) $u\in H_0^1,Lu=f\Leftrightarrow 0\in L^2, u+\lambda Mu=0$ ;
(3) $u\in H_0^1,L^*u=f\Leftrightarrow u\in L^2, u+\lambda M^*u=M^*f$ ;
(4) $u\in H_0^1,L^*u=0\Leftrightarrow u\in L^2, u+\lambda M^*u=0$ ;
证明. 和上一个引理的证明完全类似. $\blacksquare$

由于 $M,M^*$ 是分别通过 $L,L^*$ 来定义的, 现在我们要说明, 作为 $L^2$ 到 $L^2$ 的有界线性算子, $M^*$ 恰恰是 $M$ 的伴随.

引理7. $M^*$ 是 $M$ 的伴随, 即对任何 $f,g\in L^2$ , 有 $(Mf,g)_{L^2}=(f,M^*g)_{L^2}$ .
证明. $(Mf,g)_{L^2}=((L-\lambda)^{-1}f,(L^*-\lambda)(L^*-\lambda)^{-1}g)_{L^2}$ $=((L^*-\lambda)(L-\lambda)^{-1}f,(L^*-\lambda)^{-1}g)_{L^2}=(f,M^*g)_{L^2}$ .

这样一来, 我们就把椭圆方程的可解性化为一个抽象的和紧算子有关的可解性问题. 为此我们需要以下定理:

定理8. 设 $H$ 是实的Hilbert空间, $K:H\rightarrow H$ 是紧的, 那么:
(1) $\operatorname{im}(I-K)=\ker(I-K^*)^\perp$
(2) $\dim\ker(I-K)=\dim\ker(I-K^*)<\infty$ .

由这个定理, 把 $-\lambda M$ 视为 $K$ , 我们可以得知 $u+\lambda Mu=Mf$ 有解 $u$ , 当且仅当 $\forall v$ 满足 $v+\lambda M^*v=0$ , 都有 $(Mf,v)_{L^2}=0$ . 我们把这句话翻译一下, 就是 $Lu=f$ 有解 $u$ , 当且仅当对任何 $v$ 满足 $L^*v=0$ , 均有 $0=(Mf,v)_{L^2}=(f,M^*v)_{L^2}=(f,-v/\lambda)_{L^2}$ , 或者说 $(f,v)_{L^2}=0$ .

总结起来, 我们有

定理9(第二存在性定理). 设 $\partial\Omega\in C^1$ (或者至少 $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ 是紧的), $f\in L^2$ , 则以下两条等价:
(1) $Lu=f$ 有解 $u\in H_0^1$ ;
(2)对任何 $v\in H_0^1$ 是 $L^*v=0$ 的弱解, 均有 $(f,v)_{L^2}=0$ .
并且如果 $Lu=0$ 只有零解时, 对每个 $f\in L^2$ , $Lu=f$ 均有唯一解.

最后我们来讨论特征值问题, 即方程 $Lu=\lambda u$ , 边界条件依然是 $u|_{\partial\Omega}=0$ . 先做一个简单的观察: 设 $\lambda_0=C(L)$ 如Gårding不等式中所定义, 这样 $L-\lambda_0$ 是 $H_0^1$ 到 $H^{-1}$ 的线性同胚,并且对任何 $v\in H_0^1$ , 有 $\langle -Lv+\lambda_0v,v\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|v\|_{H_0^1}^2$ . 如果 $Lu=\lambda u$ , 那么 $(L-\lambda_0)u=(\lambda-\lambda_0)u$ , 从而 $-(\lambda-\lambda_0)\|u\|_{L^2}^2=-\langle(\lambda-\lambda_0)u,u\rangle\ge\frac{\theta}{2}\|u\|_{H_0^1}^2\ge0$ , 所以我们得知 $\lambda\le\lambda_0$ .

为了更进一步, 我们还是得把方程改写为和紧算子有关的形式: $Lu=\lambda u\Leftrightarrow (L-\lambda_0)u=(\lambda-\lambda_0)u\Leftrightarrow u=(\lambda-\lambda_0)Mu$ , 其中 $M=(L-\lambda_0)^{-1}$ 是 $L^2$ 上的紧算子. 从此可以看出, $Lu=\lambda u$ 有除了零解以外的解, 当且仅当 $1/(\lambda-\lambda_0)$ 是 $M$ 的点谱.

那么我们就需要知道紧算子的谱是什么样的. 事实上我们有:

定理10.设 $H$ 是实Hilbert空间, $\dim H=\infty$ , $K\in B(H)$ 是紧的. 那么
(1) $0\in\sigma(K)$ ;
(2) $\sigma(K)\setminus\{0\}\subset\sigma_p(K)$ ;
(3) $\sigma(K)\setminus\{0\}$ 要么是有限集, 要么是仅以0为聚点的可数集.

从这个定理我们知道, 如果记 $\Sigma=\{\lambda\in\mathbb{R}|\exists u\ne0, Lu-\lambda u=0\}$ , 那么 $\Sigma$ 要么是有限集, 要么 $\{1/(\lambda-\lambda_0)|\lambda\in\Sigma\}$ 是一列趋于0的实数列, 这说明 $\Sigma$ 仅以 $-\infty$ 为其聚点(注意 $\sup\Sigma\le\lambda_0$ !), 故 $\Sigma$ 中的元素可以按顺序排列为 $\{\lambda_i\}_{i=1}^\infty$ , 其中 $-\infty<\cdots<\lambda_2<\lambda_1\le\lambda_0$ .