整数、有理数、实数笔记（带余法、最大公因数，最小公倍数）

带余法

a=bq+r

（15/6=2……3；15=2*6+3；余数最大不能大于除数）

例题1：当整数n被6除时，其余数为3，则下面（ +）不是6的倍数；

A.N-3 B.N+3 C.2N D.3N E.4N

解：（特值法）n=6*1+3=9，n=9带入看哪一个不是6的倍数；

（常规）整数a除以整数b，余数为r===有等式a=bk+r（其中k为整数，0 $\leq$ r $\leq$ b）

整数n被6除时，其余数为3==有等式n=6k+3（k为整数）表达式可以提出6则是6的倍数：

A.n-3=6k+3-3=6k；B.n+3=6k+3+3=6k+6=6（k+1）

C.2n=2*(6k+3)=12k+6=6(2k+1); D.3n=3(6k+3)=18k+9=9(2k+1)

E.4n=4(6k+3)=24k+12=6*2(2k+1)

例题2：1373除以某质数，余数为8，则这个质数为（ C ）

A.7 B.11 C.13 D.17 E.19

解：1373除以某质数，余数为8====有等式1373=bk+8；8 $\leq$ b

找一个大于8的质数，整理可以得出bk=1365，即b为1365的大于8的质因数；

可以用1365因式分解（从小到大除质数），5 $\lfloor$ 1365=3 $\lfloor$ 273=7 $\lfloor$ 91=13；

最大公因数、最小公倍数

最大公因数（a，b）与最小公倍数【a，b】的关系，a，b，c $\in$ $z^+$

ab=（a，b）*【a，b】

若两数互质，即（a，b）=1，则有ab=【a，b】

任意两个质数一定互质，互质的不一定是质数；

（3是12的因数，3也是30的因数，那么3是12和30最大公因数6的因数）

求取最大公因数（a，b）与最小公倍数【a，b】：先验互质，大数倍乘

14与15互质，最大公因数为1，最小公倍数为14*15

4，5与9两两互质，最大公因数为1，最小公倍数4*5*9

30与18，30，60是不是18的倍数，不是；90是不是18的倍数，最小公倍数90；

根据公式

30*18=X*90===ab=（a，b）*【a，b】

分解质因数法：

比如求12与30的最大公因数与最小公倍数

第一步：因数分解12=2*2*3；30=2*3*5，

第二步：求最大公因数，两数公共的质因数为2和3，按照较少的数选取，相乘即为最大公因数；（2*3=6）

第三步：求最小公倍数，能分解出全部的质数为2，3，5，相同的质因数按照较多的个数选取，相乘就是最小公倍数；（2*2*3*5=60）

短除法：

求12与30的最大公因数与最小公倍数

6 $\lfloor$ 12 30=2 5（互质）短除左侧所有数字的乘积，6为最大公因数；

短除式左侧以及下方所有数字的乘积6*2*5=60为最小公倍数；

求24、18、36的最大公因数和最小公倍数

6 $\lfloor$ 24 18 36=4 3 6（商有两个互质的数，左侧数乘积就是最大公因数）

2 $\lfloor$ 4 3 6=3 $\lfloor$ 2 3 3=2 1 1 （左侧下方所有数乘积6*2*3*2*1*1=72）

例题1（条件充分性判断）（a，b）=30，【a，b】=18900.

（1）a=2100，b=270 （2）a=140 b=810

例题2 已知两个正整数的最大公因数为6，最小公倍数为90，则满足这个条件的正整数有（ B ）组。

A.1 B.2 C. 3 D.4 E.5

解：ab=（a，b）【a，b】=6*90=540

因式分解：2*3*3*2*5*3（按最大公因数分析）

2*3*3=18；2*3*5=30都一样的两组数

2*3=6; 2*3*3*5=90一样两组数

例题3：两个正整数x和y的最大公因数是4，最小公倍数是20，

则 $x^2$ $y^2$ +3xy+1=（C ）

A.1000 B.6640 C.6641 D.6642 E.7801

最后编辑于：2021.11.20 09:51:53