目录：有界函数复合函数反函数单调函数基本初等函数初等函数重要的函数

函数是微积分的研究对象.

一、有界函数

定义1：设 $y=f(x)$ ， $x∈D$ ， $\exists$ 常数 $N≤M$ ， $∀x∈D$ ，都有 $N≤f(x)≤M$ ，称 $f(x)$ 是 $D$ 上的有界函数.

注： $N$ 称为 $f(x)$ 的一个下界； $M$ 称为 $f(x)$ 的一个上界.

$\exists$ 常数 $N$ ， $\forall x\in D$ ，都有 $N≤f(x)$ ，称 $f(x)$ 为有下界函数；

$∃$ 常数 $M$ ， $∀x∈D$ ，都有 $f(x)≤M$ ，称 $f(x)$ 为有上界函数.

几何意义：

有界函数

有上界函数

有下界函数

定义： $∃$ 常数 $M＞0$ ， $∀x∈D$ ，都有 $|f(x)|≤M⇔-M≤f(x)≤M$ ，称 $y=f(x)$ 在 $D$ 上有界.

【例1】证明 $f(x)=\sin^{80} x-6\cos x ^{60} 2x$ 有界.

证：由 $f(x)$ 的定义域为 $R$ , $∀x∈R$ ，

$\qquad \vert f(x) \vert =\vert \sin^{80} x-6\cos^{60} 2x \vert \\\ \ \ \ \qquad \qquad \leq \vert \sin^{80}x \vert +6\vert \cos^{60}2x \vert \\≤1+6=7$

则 $f(x)$ 有界#

【例2】证明 $f(x)=\frac {x}{1+x^2} \sin x$ 有界.

证：定义域是 $R$ ，由

$a^2+b^2\geq 2ab\\\ \ \ \ \ \qquad\qquad ab\leq \frac{1}{2} (a^2+b^2)$

若 $a＞0$ ， $b＜0$ ， $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ ， $\forall x\in R$

$\vert f(x) \vert =\frac {\vert x \vert \cdot 1}{1+\vert x \vert ^2} \vert \sin x \vert \\\ \ \ \ \qquad \leq \frac {1}{2} \frac {\vert x \vert ^2+1}{1+\vert x \vert ^2} = \frac {1}{2}\\$

知 $f(x)$ 在 $R$ 上是有界函数＃

注：" $∀$ "对立面是" $∃$ "

" $∃$ "对立面是" $∀$ "

" $＞$ "对立面是" $≤$ "

定义1.2： $∀M＞0$ ，存在 $x_{M} ∈D$ ，但 $\vert f(x) \vert＞M$ ，称 $f(x)$ 是 $D$ 上的无界函数.

【例3】证明 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x} }$ 在 $(0,1]$ 上是无界函数.

分析法：要证 $B$ 成立，只要 $A$ 成立.（指的是 $A\Rightarrow B$ ）即 $A$ 成立是 $B$ 成立的充分条件.

证： $\forall M＞0$ ，若要 $\vert f(x) \vert ＞M$ 成立 $\Leftrightarrow$ $\vert \frac {1}{\sqrt {x} } \vert ＞M$ $\Leftrightarrow$ $\frac {1}{\sqrt {x} } ＞M$ $\Leftrightarrow$ $\frac {1 } {x } ＞M^2$ $\Leftrightarrow$ $0＜x＜\frac {1}{M^2}$ 且 $0＜x\leq 1$ ，

取 $x=\frac {1}{(M+1)^2 } \in (0,1]$ ， $0＜x＜\frac {1}{M^2}$

有 $\vert f(x) \vert ＞M$ ，知 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上无界#

二、复合函数

设 $y=f(u)$ ， $u∈D(f)$ ， $u=φ(x)$ ， $u∈R(φ)$ 且 $D(f)\cap R(\varphi )\neq \emptyset$ ，则称 $y=f(\varphi (x))$ 为 $x$ 的复合函数.

注： $x$ 称为自变量， $y$ 称为因变量， $u$ 称为中间变量.

$f(u)$ 称为外层函数（简称为外函数）， $\varphi (x)$ 称为内层函数（简称为内函数）.

【例】 $y=\sqrt{u}$ ， $u=-(1+x^2)$ $\Rightarrow$ $y=\sqrt{-(1+x^2)}$ ，没意义.

由 $D(f)\cap R(\varphi )\neq \emptyset$ ， $\exists u_{0}\in D(f)\cap R(\varphi )$ $\Rightarrow$ $u_{0}\in R(\varphi )$ ，

$\exists x_{0}$ ，使 $u_{0} =\varphi (x_0)$ ， $u_0\in D(f)$ ，

$u_0\in D$ ， $\exists y_0$ ，使 $y_0=f(u_0)$ $\Rightarrow$ $y_0=f(\varphi (x_0))$

$y=f(u)$ ， $u=\varphi (x)$ 能不能复合？

若 $y=f(\varphi (x))$ 定义域是 $\emptyset$ ，则不能复合.

【例】 $y=\sqrt{u}$ ， $u=-(1+x)^2$ 不能复合.

若 $y=f(\varphi (x))$ 定义域不是 $\emptyset$ ，就是一个复合函数.

【例】 $y=\sqrt{u}$ ， $u=\sin x$ $\Rightarrow$ $y=\sqrt{\sin x }$ ，定义域不是 $\emptyset$ ，是一个复合函数，定义域要求 $\sin x \geq 0$ ， $x\in [2k\pi ,2k\pi +\pi ]$ , $k\in z$

【例】 $y=2^x$ ， $y=x^2$ .

复合（①外②内）： $y=2^{x^2}$ , $x\in R$

复合（①内②外）： $y=(2^x)^2=(2^2)^x=4^x$ , $x\in R$

注： $2^{x^2}\neq (2^x)^2=2^{2x}$

【例】求 $y=\frac {1} {\frac {1} {1-x } -1 }$ 的定义域.

解：❌ ： $y=\frac {1}{\frac {1-(1-x) }{1-x}-1 } =\frac {1-x}{x }$ ，定义域 $\{x:x\in R,x\neq 0\}$

：定义域 $\{x:x\in R,x\neq 0,x\neq 1\}$

三、反函数

定义1.4：设 $y=f(x)$ , $x\in D$ ， $\forall x_1,x_2\in D$ 且 $x_1\neq x_2$ 都有 $f(x_1)\neq f(x_2)$ ，称 $y=f(x)$ , $x\in D$ 为一一对应；反之 $\forall y\in R(f)$ 存在唯一的 $x\in D$ （且 $f(x)=y$ ）与之对应，得到一个定义在 $R(f)$ 上的函数，记作 $x=f^{-1}(y)$ 称为 $y=f(x)$ 的反函数.

反函数的定义域就是函数的值域；

反函数的值域就是函数的定义域.

函数 $y=f(x)$ 与反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的图像相同.

注：习惯上自变量用 $x$ 表示，因变量用 $y$ 表示，反函数改写为 $y=f^{-1}(x)$ 的图像为函数 $y=f(x)$ 的图像关于 $y=x$ 对称.

若 $y=f(x)$ 的反函数为 $x=\varphi (y)$ ，则 $f(\varphi (y))=y$ ， $\varphi (f(x))=x$ #

四、单调函数

定义1.5：设 $y=f(x)$ , $x\in D$ ， $\forall x_1,x_2\in D$ ，且 $x_1＜x_2$ 都有

$f(x_1)\leq f(x_2)$ ，称 $y=f(x)$ 是 $D$ 上的递增函数；

$f(x_1)\geq f(x_2)$ ，称 $y=f(x)$ 是 $D$ 上的递减函数.

递增函数、递减函数统称为单调函数.

单调递增函数

若 $\forall x_1,x_2\in D$ ，且 $x_1＜x_2$ ，都有

$f(x_1)＜ f(x_2)$ ，称 $y=f(x)$ 是 $D$ 上的严格递增函数；

$f(x_1)＞ f(x_2)$ ，称 $y=f(x)$ 是 $D$ 上的严格递减函数.

严格递增函数、严格递减函数统称为严格单调函数.

严格单调递增函数

定理1.1：若 $y=f(x)$ , $x\in D$ 是严格单调函数，则必有反函数且反函数严格单调；反之不成立.

【例】函数 $y=\frac {1}{x}$ ，反函数 $x=\frac {1}{y}$ 不是严格单调.

【例】有反函数，但不严格单调

五、基本初等函数

三角函数中

余切： $\cot x= \frac {1}{\tan x}$ ；

正割： $\sec x= \frac {1}{\cos x}$ ；

余割： $\csc x= \frac {1}{\sin x}$ ；

$1+ \tan^2 x (= \frac {\cos^2 x+ \sin^2 x}{\cos^2 x} )=\sec^2 x$ ；

$1+\cot^2 x= \csc^2 x$ .

$y=\sin x$ , $x\in R$ 不是一一对应，它没有反函数.

但是设 $y=\sin x$ , $x\in [-\frac {\pi }{2} , \frac {\pi }{2} ]$ 是严格单调，因此，有反函数，记作 $x=\arcsin y$ , $y\in [-1,1]$ ，习惯上 $y=\arcsin x$ , $x\in [-1,1]$ ,值域是 $[- \frac {\pi }{2}, \frac {\pi }{2 } ]$ ，它的图像与 $y=\sin x$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称.

同理：

反余弦： $y=\arccos x$ , $x\in [-1 ,1 ]$ , $y\in [0 ,\pi ]$ .

反正切： $y=\arctan x$ , $x\in (-\infty , +\infty )$ , $y\in (-\frac {\pi } {2 } , \frac {\pi } {2 } )$ .

反余切： $y=\arccot x$ , $x\in (-\infty , +\infty )$ , $y\in (0 , \pi )$ .

基本初等函数——六种函数：

1.常值函数： $y=C$ （ $C$ 常数）, $x\in R$ .

2.指数函数： $y= a^ x$ （ $a＞0, a \neq 1$ ,常）, $x\in R$ .

3.对数函数： $y=\log _a x$ （ $a＞0, a \neq 1$ ,常）, $x\in (0, +\infty )$ .

4.幂函数： $y=x^a$ （ $a\neq 0$ ,常）

5.六种三角函数

6.四个反三角函数

注：要求知道以上六种函数的定义域、值域，会画草图，知道与x、y轴的交点.

六、初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算得到的函数称为初等函数.

由基本初等函数经过有限次四则运算，称为简单函数.

不是初等函数的函数，称为非初等函数.（一般来说，分段函数是非初等函数）

【例】 $f(x)=\left\{\begin {array}{rcl}x^2 \ \ \ \ \ , & x＜0 & \\\ln (1+x), & x\geq 0 & \end {array} \right.$ 是非初等函数.

【例】 $f(x)=\left\{\begin {array}{rcl}-x, & x\leq 0 & \\x, & x＞ 0 & \end {array} \right.=\vert x \vert =\sqrt {x^2}$ 是由 $y=\sqrt {u}$ ， $u=x^2$ 复合，得到的函数是初等函数.

【例】 $y=\frac {e^ \sqrt {\sin x }+x^2+1 } {\sqrt {1+x^2} +3x^2 }$ 是初等函数.

由 $y=\sin x$ ， $y=\sqrt {x}$ ， $y=e^x$ ， $y=x^2$ ， $y=1$ ， $y=3$ ，经过六次四则运算，三次复合运算，知是一个初等函数.

快速判断初等函数方法：一个数学表达式就是初等函数.

学会如果一个函数是复合函数，把它拆成几个基本初等函数，或者简单函数的复合.

【例】 $y=e^ \sqrt {\sin x}$ 是复合函数，由 $y=e^u$ ， $u=\sqrt {v}$ ， $v=\sin x$ 复合.

【例】 $y=\ln \arctan \sin \sqrt {1+x^2 }$ 是复合函数，由 $y=\ln u$ ， $u=\arctan v$ ， $v=\sin w$ ， $w=\sqrt {x}$ ， $x=1+x^2$ 复合得到#

七、重要的函数

1.符号函数 $sgn \ x=\left\{\begin {array}{rcl}-1, & x＜ 0 & \\0, & x= 0 & \\1, & x＞ 0 &\end {array} \right.$ .

符号函数 sgn x

2.取整函数 $\forall x\in R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.知 $[x]$ 是区间 $R$ 上的一个函数，称为取整函数.记 $y=[x]$ , $x\in R$ .

【例】 $[3.5]=3$ ， $[3]=3$ ， $[-3.5]=-4$ ， $[\sqrt {2} ]=1$ #

性质： $[x]\leq x＜[x]+1$ ，即 $x-1＜ [x]\leq x$

性质 $[x] =\left \{\begin {array}{rcl}…& … & \\-1, & -1 \leq x＜ 0 & \\0, & 0 \leq x＜ 1 & \\1, & 1 \leq x＜ 2 & \\2, & 2 \leq x＜ 3 & \\…& … & \end {array} \right.$