11.2.5 卷积定理
许多信号s(k)的改变会直接导致spin density p(x)的变化波动，这种信号的改变可以通过滤波或者卷积的方式实现。考虑T2*衰减。被测量的信号可以被表示为无松弛状态下信号s(k)和指数衰减的乘积。这样的一个乘积的反傅里叶变换可以用于spin density p(x) 的重建。
卷积定理可以帮助我们更好的去理解这样的乘积的傅里叶变换和各自傅里叶变换之间的关系。
通常记作：时域卷积，频域相乘；时域相乘，频域卷积。卷积定理有的时候可以帮助我们快速运算，得到结果。
11.2.6 卷积交换律
三个函数的卷积，是可以相互交换的，在后续对一个信号s(k)进行多次操作的时候，这样的卷积操作就可以调换进行，而无论卷积的次序问题。
11.2.7 导数定理
当我们分析一个图像的 derivative (gradient)图的时候，可以获取到图像中边界的重要信息。导定理是说，如果存在f(x) 和F(k) 这样的变换对，那么有：
因此，一个derivative图p'(x) 可以通过对F{s(k)}乘以一个i*2pi*k 获得。
咱们来看一个实例，对一个信号s(k) 加入一个加性噪声 λ(k)， 最后求出p'(x)，可以看到噪声被放大了2pi*k 倍，导致图像的边缘细节，被噪声严重干扰。
a) 图是原始纯净图像p(x) b) 图是对p(x)加入加性噪声得到的p'(x)图像。
可以看到圆孔周围的噪声被放大加强了，由于是按照竖直方向求导的，所以，被加强的含噪声的edge 垂直于竖直方向的。
11.2.8 傅里叶变换的对称性
奇对称和偶对称在傅里叶变换和图像重建上很重要。举个栗子来说，考虑一个实数函数，那么它满足h(x)=h*(x)。 我们经常提到的spin density p(x) 就是这样一个实数函数。 它的变换的实数部分是一个偶对称，虚数部分是一个奇对称。 即 Re[H(k)]=Re[H(-k)] 并且 Im[H(k)]=-Im[H(-k)]。这一点，可以很容易从这里看出来：
这样，咱们可以看到对于实数函数来说，H[k]=H*[-k]。当spin density 图像p(x)是一个实数函数的时候，那么它的傅里叶变换也具有这样的性质。这个性质在partial Fourier imaging中被广泛应用。在partial Fourier imaging中，我们只需要采集到k-space的一半，然后通过对称性，得到k-space的另一半数据，通过假设k-space是一个共轭对称的空间。
11.3 傅里叶变换对
以下列出了对于MRI 重建和分析有用的傅里叶变换对，性质，都统计在table'中。
