HW1 - 简书

MWG 9.B.6

假设企业E以概率 $x$ 选择小利基，以概率 $1-x$ 选择大利基；企业I以概率 $y$ 选择小利基，以概率 $1-y$ 选择大利基

为了让企业I的选择无差异，有 $-6x-1(1-x)=1x-3(1-x)\Rightarrow x=2/9$

为了让企业E的选择无差异，有 $-6y-1(1-y)=1y-3(1-y)\Rightarrow y=2/9$

这个均衡带给两个企业的收益都为 $-19/9$ ，这会导致企业E选择不进入市场

因此，下列策略构成了一个子博弈完美纳什均衡：企业E在第一个节点上选择不进入，在第二个节点上以概率 $(2/9,7/9)$ 在小利基与大利基之间随机化；给定企业E进入，则企业I以概率 $(2/9,7/9)$ 在小利基与大利基之间随机化

MWG 9.B.12

唯一的子博弈完美纳什均衡策略如下所示：

提出分配方案的选手i，提出的分配方案为 $(\frac{1-\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v,\frac{\delta_j-\delta_i\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v)$ ，另一个选手接受这个方案，当且仅当他得到的份额不少于 $\frac{\delta_j-\delta_i\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v$

为了证明这些策略构成了一个子博弈完美纳什均衡：

①假设当企业i提出这样的分配方案时，企业j会拒绝，那么在下一期，企业j提出的分配方案为 $(\frac{\delta_i-\delta_i\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v,\frac{1-\delta_i}{1-\delta_i\delta_j}v)$ ，则企业j得到的收益为 $\delta_j\frac{1-\delta_i}{1-\delta_i\delta_j}v=\frac{\delta_j-\delta_i\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v$ ，即无法通过偏离而获益

②假设提出分配方案的企业i偏离，转而使用不同的策略

如果企业i分配给企业j的数额大于 $\frac{\delta_j-\delta_i\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v$ ，那么企业i无法获益

如果企业i分配给企业j的数额小于 $\frac{\delta_j-\delta_i\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v$ ，那么企业j会拒绝接受，在下一期，企业j分配给企业i的份额为 $\frac{\delta_i-\delta_i\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v$ ，于是企业i会选择接受，从而得到的收益为 $\delta_i\frac{\delta_i-\delta_i\delta_j}{1-\delta_i\delta_j }v=\delta_i^2\frac{1-\delta_j}{1-\delta_i\delta_jv}<\frac{1-\delta_j}{1-\delta_i\delta_j}v$

综上所述，企业都不会选择偏离上述策略

MWG 9.C.4

（a）D拥有更多的信息且选择接受诉讼或协商，因此P能获得的诉讼与协商中的较小收益

$u_p(s,\lambda)= \begin{cases} \lambda\pi-c_p,&s\geq\lambda\pi-c_d\\ s,&s<\lambda\pi-c_d \end{cases},u_d(s,\lambda)= \begin{cases} -\lambda\pi-c_d,&s\geq\lambda\pi-c_d\\ -s,&s<\lambda\pi-c_d \end{cases}$

因此，原告P从要约s中得到的期望收益为：

$\mathbb{E}_\lambda u_p(s,\lambda) =\int_0^{(s-c_d)/\pi}(\lambda\pi-c_p)f(\lambda)d\lambda+\int_{(s-c_d)/n}^1sf(\lambda)d\lambda$

对s微分，得一阶条件： $1-F(\frac{s-c_d}{\pi})=\frac{c_d+c_p}{\pi}f(\frac{s-c_d}{\pi })$

（b）对上式关于 $s,c_p,c_d,\pi$ 全微分