事件独立性

事件独立性

例 1： 有 10 件产品，其中 8 件为正品，2 件次品。从中取 2 次,每次取 1 件。（1）采用不放回抽样,（2）采用放回抽样。

解： 设 A_i=\{第 i 次取到正品\}, i=1,2. 比较 P(A_2|A_1) 与 P(A_2).

不放回抽样时, P(A_2|A_1) = \frac{7}{9} \neq P(A_2) = \frac{8}{10}

放回抽样时， P(A_2|A_1) = \frac{8}{10} = P(A_2)

因此，放回抽样时，A_1 的发生对 A_2 的发生概率不影响。

P(A_2|A_1) = P(A_2) \implies P(A_1A_2) = P(A_1)P(A_2).

还可以得到 P(A_1|A_2)=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_2)} = P(A_1).

即 A_2 的发生对 A_1 的发生概率也不影响。

这就是事件 A_1 与 A_2 相互独立。

定义： 设 A，B 是两随机事件，如果 P(AB) = P(A)P(B)， 则称 A，B 相互独立。

之所以用上述方式定义，一是因为 A 与 B 的对称性，二是不需要条件概率存在的条件，即事件的概率可以为 0。

若 P(A) > 0， P(B) > 0,

则 P(AB) = P(A)P(B)

等价于 P(B|A) = P(B)

也等价于 P(A|B) = P(A)

直观来看，若 A 与 B 相互独立，则不论 A 是否发生，都不能提供 B 是否发生的信息，反之也是。下面的性质也能更直观的说明：

A,B 相互独立 \iff \overline{A},B 相互独立 \iff A,\overline{B}相互独立 \iff \overline{A}\overline{B} 相互独立.

证明：

\because 当 P(AB) = P(A)P(B) 时，

P(A\overline{B}) = P(A-AB)

=P(A)-P(AB) = P(A)-P(A)P(B) = P(A)[1-P(B)] = P(A)P(\overline{B})

上面的证明，仅证明当 P(AB) = P(A)P(B) 时，P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})，其他的证明类似，这里省略。

定义： 设 A_1,A_2,...,A_n 为 n 个随机事件，

若对 2\leq k\leq n 均有：

P(A_{i_1}A_{i_2}...A_{i_k}) = \prod_{j=1}^{k}P(A_{i_j})

则称 A_1,A_2,...,A_n 相互独立。

例 2： 有一个正四面体,现在给一面漆上红色,一面漆上黄色,一面漆上蓝色,还有一面漆上红黄蓝三色．现在任取一面。令 A = "这面含红色"，B="这面含黄色"，C="这面含蓝色"。问：A,B,C 是否两两独立？是否相互独立？

事件独立性.jpg

解: 对这四面分别标号为 1,2,3,4.

则 S = \{1,2,3,4\}, A = \{1, 4\}, B=\{2,4\}, C=\{3,4\}

AB=AC=BC=ABC=\{4\}

P(A)=P(B)=P(C)=1/2

P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=1/4

\implies P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)\quad \quad 两两独立

P(ABC)\neq P(A)P(B)P(C)\quad \quad 不是相互独立

例 3： P(A)=0.5,P(B)=0.4，求下列情况下，P(A\bigcup B).

(1) A 与 B 独立，(2) A 与 B 不相容，

(3) A\supset B，\quad\quad (4)P(AB)=0.3.

解：

(1) P(A\bigcup B)=1-P(\overline{A}~\overline{B})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=0.7,

(2) P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)=0.9,

(3) P(A\bigcup B)=P(A)=0.5,

(4) P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6.

例4：有 5 个独立元件构成的系统(如图)，设每个元件能正常运行的概率为 p，求系统正常运行的概率.

事件独立性2.jpg

解： 设 A_i=\{第 i 个元件允许正常\}，i=1,2,3,4,5

A=\{系统允许正常\}

P(A)=P(A_3)·P(A|A_3)+P(\overline{A_3})·P(A|\overline{A_3})

p_1\hat{=}P(A|A_3)

=P((A_1\bigcup A_4)(A_2\bigcup A_5))

=[P(A_1\bigcup A-4)]^{2} = (2p-p^{2})^{2}

p_2\hat{=}P(A|\overline{A_3})

=P(A_1A_2\bigcup A_4A_5)

=2p^{2}-p^{4}

P(A)=P(A_3)·P(A|A_3)+P(\overline{A_3})·P(A|\overline{A_3})

=p(2p-p^{2})^{2}+(1-p)(2p^{2}-p^{4})

=2p^{2}+2p^{3}-5p^{4}+2p^{5}

关于小概率事件

"概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的"（称之为实际推断原理）。

例 5： 某技术工人长期进行某项技术操作，他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，就按照自己的方法进行，但这样做有可能发生事故.设他每次操作发生事故的概率为 p=0.0001，他独立重复进行了 n 次操作. 求

(1) n次都不发生事故的概率；

(2) 至少有一次发生事故的概率.

解： 设 A_i=\{第i次不发生事故\}，i=1,2,...,n.

B=\{n次都不发生事故\}.

C=\{至少发生一次事故\}.

则 A_1,...,A_n 相互独立，P(A_i)=1-p=0.9999

P(B)=P(A_1...A_n)=(1-p)^{n}

P(C)=1-P(B)=1-(1-p)^{n}

注意到 \lim_{n \to \infty}P(C)=1-\lim_{n \to \infty}(1-p)^{n}=1

上式的意义为："小概率事件"在大量独立重复试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。决不能轻视小概率事件。

n=7000时，P(C)=1-(1-0.0001)^{7000}=0.5034 > 0.5.

n=30000时，P(C)=1-(1-0.0001)^{30000}=0.9502

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