高等代数理论基础19：Laplace定理

Laplace定理

余子式和代数余子式的推广

余子式

定义：在一个n级行列式D中任意选定k行k列 $(k\le n)$ ,位于这些行和列的交点上的 $k^2$ 个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M,称为行列式D的一个k级子式,当 $k\lt n$ 时,在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k级行列式M'称为k级子式M的余子式

注：M也是M'的余子式,M和M'可称为D的一对互余的子式

代数余子式

定义：设D的k级子式M在D中所在的行列指标分别是 $i_1,i_2,\cdots,i_k$ , $j_1,j_2,\cdots,j_k$ ,则M的余子式M'前加上符号 $(-1)^{(i_1+i_2+\cdots+i_k)+(j_1+j_2+\cdots+j_k)}$ 后称为M的代数余子式

引理：行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D展开式中的一项,且符号一致

证明：

$设D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}&a_{1,k+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}&a_{k,k+1}&\cdots&a_{kn}\\ a_{k+1,1}&a_{k+1,2}&\cdots&a_{k+1,k}&a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nk}&a_{n,k+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

$假设M位于D的左上方$

$M=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$

$则M'=\begin{vmatrix}a_{k+1,k+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n,k+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

$此时M的代数余子式A为$

$A=(-1)^{(1+2+\cdots+k)+(1+2+\cdots+k)}M'=M'$

$M的每一项都可写作$

$a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2}\cdots a_{k\alpha_k}$

$其中\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k是1,2,\cdots,k的一个排列$

$\therefore 该项前所带符号为(-1)^{\tau(\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k)}$

$M'的每一项都可写作$

$a_{k+1,\beta_{k+1}}a_{k+2,\beta_{k+2}}\cdots a_{n\beta_n}$

$其中\beta_{k+1},\beta_{k+2},\cdots,\beta_n是k+1,k+2,\cdots,n的一个排列$

$该项前所带符号为(-1)^{\tau((\beta_{k+1}-k)(\beta_{k+2}-k)\cdots(\beta_n-k))}$

$二项乘积为$

$a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2}\cdots a_{k\alpha_k}a_{k+1,\beta_{k+1}}a_{k+2,\beta_{k+2}}\cdots a_{n\beta_n}$

$前面符号为(-1)^{\tau(\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_k)+\tau((\beta_{k+1}-k)(\beta_{k+2}-k)\cdots(\beta_n-k))}$

$=(-1)^{\tau(\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k\beta_{k+1}\cdots\beta_n)}$

$\therefore 乘积为行列式D中的一项,且符号一致$

$下证一般情形$

$设子式M位于D的第i_1,i_2,\cdots,i_k行,第j_1,j_2,\cdots,j_k列$

$其中i_1\lt i_2\lt \cdots\lt i_k,j_1\lt j_2\lt \cdots\lt j_k$

$变换D中行列的次序使M位于D的左上角$

$把第i_1行依次与第i_1-1,i_1-2,\cdots,2,1行对换$

$经过i_1-1次对换而将第i_1行换到第一行$

$再将i_2行依次与第i_2-1,i_2-2,\cdots,2行对换$

$经过i_2-2次对换$

$一直进行下去$

$经过(i_1-1)+(i_2-2)+\cdots+(i_k-k)$

$=(i_1+i_2+\cdots+i_k)-(1+2+\cdots+k)$

$次行对换而把第i_1,i_2,\cdots,i_k行依次换到第1,2,\cdots,k行$

$列变换类似$

$把M的列换到第1,2,\cdots,k列$

$一共作了(j_1-1)+(j_2-2)+\cdots+(j_k-k)$

$=(j_1+j_2+\cdots+j_k)-(1+2+\cdots+k)$

$次列变换$

$设变换后得到的新行列式为D_1,则$

$D_1=(-1)^{(i_1+i_2+\cdots+i_k)-(1+2+\cdots+k)+(j_1+j_2+\cdots+j_k)-(1+2+\cdots+k)}D$

$=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}D$

$\therefore D_1和D展开式中出现的项是一样的$

$只是每一项都差符号(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}$

$现M位于D_1左上角$

$\therefore M\cdot M'中每一项都是D_1中的一项且符号一致$

$M\cdot A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}M\cdot M'$

$\therefore MA中每一项都与D中一项相等且符号一致\qquad \mathcal{Q.E.D}$

Laplace定理

定理：设在行列式D中任意取定了k $(1\le k\le n-1)$ 个行,由这k行元素组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D

证明：

$设D中取定k行后得到的子式为M_1,M_2,\cdots,M_t$

$它们的代数余子式分别为A_1,A_2,\cdots,A_t$

$下证D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots +M_tA_t$

$显然,M_iA_i中每一项都是D中一项且符号一致$

$且M_iA_i和M_jA_j(i\neq j)无公共项$

$\therefore 要证结论成立,只需证两边项数相等$

$显然,等式左端共有n!项$

$由子式的取法可知$

$t=C_n^k={n!\over k!(n-k)!}$

$\because M_i中有k!项$

$A_i中共有(n-k)!项$

$\therefore 右边共有t\cdot k!\cdot (n-k)!=n!\qquad \mathcal{Q.E.D}$

注：Laplace定理计算行列式并不方便,这个定理主要在理论方面应用

行列式的乘法规则

定理：给定两个n级行列式

$D_1=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ , $D_2=\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}$

的乘积等于一个n级行列式

$C=\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{vmatrix}$ ,其中 $c_{ij}$ 是 $D_1$ 的第i行元素分别与 $D_2$ 的第j列对应元素乘积之和 $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}$

证明：

$作一个2n级行列式$

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&0&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&0&0&\cdots&0\\ -1&0&\cdots&0&b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ 0&-1&\cdots&0&b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}$

$由Laplace定理$

$将D按前n行展开$

$\therefore D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}=D_1D_2$

$下证D=C$

$对D作初等行变换$

$将第n+1行的a_{11}倍,第n+2行的a_{12}倍,\cdots,$

$第2n行的a_{1n}倍加到第一行,可得$

$D=\begin{vmatrix}0&0&\cdots&0&c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&0&0&\cdots&0\\ -1&0&\cdots&0&b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ 0&-1&\cdots&0&b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}$

$再依次将第n+1行的a_{k1}(k=2,3,\cdots,n)倍$

$第n+2行的a_{k2}倍,\cdots,第2n行的a_{kn}倍$

$加到第k行可得$

$D=\begin{vmatrix}0&0&\cdots&0&c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ 0&0&\cdots&0&c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0&c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\\ -1&0&\cdots&0&b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ 0&-1&\cdots&0&b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&-1&b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{vmatrix}$

$按前n行展开可得$

$D=\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{vmatrix}\cdot$

$(-1)^{(1+2+\cdots+n)+(n+1+n+2+\cdots+2n)}\begin{vmatrix}-1&0&\cdots&0\\ 0&-1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&-1\end{vmatrix}$

$=C\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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