P5.电子波与电磁透镜

电子波

分辨率: 指物体所分辨的两个物电的最小间距

光学显微镜分辨率:
$\Delta r_0\approx\frac{\lambda}{2}$
==要获得高分辨率就要求 $\lambda$ 较短==

显微镜光源首先具有波动性

其次需要有能使光波聚焦的装置(电磁透镜)

电子波:

在电场中运动的电子速度为：
$\frac{1}{2}mv^2=eU \to v=\sqrt{2eU/m} \\ \color{red}{ev=1.602 \times 10^{-19}焦耳}\\ \color{red}{m_e=9.109 \times10^{-31}kg}\\$
电子波的波长取决于电子的速度与质量：
$\lambda=\frac{h}{mv}\\ \color{red}{h=6.62607004 \times 10^{-34} m^2kg/s}$
所以,可得 $\lambda=\frac{h}{\sqrt{2meU}}$

注意: 在接近光速的情况下，要考虑相对论修正：
$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$

电磁透镜

电磁透镜:电子显微镜中利用磁场使电子波聚焦成像的装置称为电磁透镜

电磁透镜聚焦原理.png

物距 $L_1$ 、像距 $L_2$ 、焦距 $f$ 的关系:
$\frac{1}{f}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$
放大倍数M:
$M=\frac{L_2}{L_1}=\frac{f}{L_1-f}$
焦距 $f$ 与线圈电流匝数 $IN$ 以及校正后的加速电压 $U_r$ 有关：
$f\approx K\frac{U_r}{IN},K\text{为常数}$

可见焦距总是为正的,改变电流就可以改变焦距 $f$

像差(实际像与理想像的偏离)

像差.png

几何像差(单色光)

球差:球差是由于透镜中心区域和边缘区域对电子的折射能力不同而形成的，用 $\Delta r_s$ 表示球差的大小
$\Delta r_s=\frac{1}{4}\underbrace{C_s}_{球差系数}\underbrace{\alpha^3}_{孔径半角}$
==减小球差途径:减小 $C_s$ 与 $\alpha$ ==

散焦斑:物点通过透镜成像时，电子不会汇聚到同一点，从而形成一个个焦散斑，其中必然有一个最小的焦散斑

球差.png

若透镜的放大倍数为 $M$ ,球差与像平面上最小的焦散斑半径 $R_s$ 的关系为
$R_S=M\Delta r_s$

像散:由于透镜磁场的非旋转对称导致不同方向聚焦能力出现差别引起的，用 $\Delta r_A$ 表示像差的大小
$\Delta r_A=\Delta f_A \alpha \\ f_A \text{为磁场出现非旋转对称时的焦距差}\\ \alpha \text{是孔径半角}$
==减小像差途径：减小 $f_A$ (矫正磁场)与 $\alpha$ ==

最小焦散半径 $R_A$ :
$R_A=M\Delta r_A$

像散.png

色差(多色光)

色差是由于入射电子为多波长所引起的像差，用 $表示\Delta r_C表示$
$\Delta r_c=C_c\alpha|\frac{\Delta E}{E}|\\ C_c \text{是色差系数}\\ \frac{\Delta E}{E}为电子能量变化率，\\主要取决于加速电压的稳定性以及电子穿过样本发生非弹性散射的程度$
==减小色差途径：稳定加速电压和单色器来减小色差==

最小焦散半径 $R_C$ :
$R_C=M\Delta r_c$

色差.png

球差系数与色差系数

球差系数与色差系数.png

电磁透镜的分辨率

==电磁透镜的分辨率由衍射效应和球面像差决定==

电磁透镜的分辨率.png

衍射效应所限定的分辨率可由瑞丽公式计算：
$\Delta r_0=\frac{0.61\lambda}{Nsin\alpha}$
$N$ 是介质的相对折射率； $\alpha$ 是透镜的孔径半角

$如何提高衍射效应限定的分辨率\color{red}{如何提高衍射效应限定的分辨率?}$ 降低波长 $\lambda$ 增大孔径半角 $\alpha$

由于衍射效应，对应物点的像是中心最亮,周围呈亮暗相间的圆环的圆斑——埃利斑

衍射效应对于电磁透镜分辨率的影响:

埃利半径.png

球差对于电磁透镜分辨率的影响:

球差是 $\Delta r_S$ 是限制透镜分辨率的主要因素,可以通过减小 $\alpha$ 使得球差变小,但会让衍射效率引起的分辨率 $\Delta r_0$ 增大,分辨率下降。因此关键在于确定正确的孔径半角 $\alpha _0$ ,使得衍射效应与球差对于分辨率的影响相等，即 $\Delta r_0=\Delta r_S$ ，可以求得 $\alpha _0=1.25(\lambda/C_S)^{1/4}$ 。于是电磁透镜的分辨率为：
$\Delta r_0=A\lambda^{3/4}C_S^{1/4}\\A\approx 0.4\sim0.55$
==因此最终提高分辨率的主要途径就是减小电子束波长(即提高加速电压)和减小球差系数==