3blue1brown摘要（6）

线性方程组的求解（直观理解）

在一个线性空间内存在\vec{x},\vec{v}\,A\vec{x}=\vec{v}通过A这一系数矩阵所代表的线性变换寻找一个经此变换后与\vec{v}重合的\vec{x}，于是导出矩阵的逆的问题

矩阵的逆

A^{-1}A=E这一式子说明求逆即是一种求相反的线性变换的过程，同时求逆这一过程需要行列式不为0，因为将低维变换至高维空间并不是一种的变换即函数因为它给予一个输入却给出了多个输出

关于A\vec{x}=\vec{v}的解的问题

\det(A)\ne0时 该方程应该有唯一解 因为该线性变换是在该线性空间上 且基向量仍能表示该空间的所有向量
\det(A)=0时要分不情况来进行讨论 如果维度压缩得越多则使得解存在的可能性越渺茫需要该向量刚好处于压缩后的那个空间 而关于其维数压缩的程度我们用秩这一概念来进行描述

列空间与秩

秩的准确定义是列向量所张成的空间的维数 它能够帮我们判断解的存在

零空间

零空间是指在空间变换的过程中有一部分向量被压缩为零向量，而这一部分的向量组成的空间被称为零空间 零空间的维数与秩相关

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