【行列式】6、克莱姆法则

克莱姆法则.png

一、练习答案

1、设 $\alpha+\beta+\gamma=0$ 求行列式 $D=\left| \begin{array}{cccc} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma& \alpha & \beta\\ \beta & \gamma &\alpha \end{array} \right|$ 的值。
$D=\left| \begin{array}{cccc} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma& \alpha & \beta\\ \beta & \gamma &\alpha \end{array} \right| =\left| \begin{array}{cccc} \alpha+\gamma+\beta & \beta+\alpha+\gamma& \gamma+\beta+\alpha \\ \gamma& \alpha & \beta\\ \beta & \gamma &\alpha \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cccc} 0& 0 & 0 \\ \gamma& \alpha & \beta\\ \beta & \gamma &\alpha \end{array} \right|=0$

2、求行列式 $D=\left| \begin{array}{cccc} 1+a_{1} &a_{2}&\cdots&a_{n-1}&a_{n} \\ a_{1}& 1+a_{2} & \cdots&a_{n-1}&a_{n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{1}& a_{2} & \cdots&1+a_{n-1}&a_{n}\\ a_{1}& a_{2} & \cdots&a_{n-1}&1+a_{n} \end{array} \right|$ 的值

$D=\left| \begin{array}{cccc} 1+a_{1} &a_{2}&\cdots&a_{n-1}&a_{n} \\ a_{1}& 1+a_{2} & \cdots&a_{n-1}&a_{n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{1}& a_{2} & \cdots&1+a_{n-1}&a_{n}\\ a_{1}& a_{2} & \cdots&a_{n-1}&1+a_{n} \end{array} \right|$

$=\left| \begin{array}{cccc} 1+a_{1}+a_{2}+ \cdots+a_{n} &a_{2}&\cdots&a_{n-1}&a_{n} \\ 1+a_{1}+a_{2}+ \cdots+a_{n} & 1+a_{2} & \cdots&a_{n-1}&a_{n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 1+a_{1}+a_{2}+ \cdots+a_{n} & a_{2} & \cdots&1+a_{n-1}&a_{n}\\ 1+a_{1}+a_{2}+ \cdots+a_{n} & a_{2} & \cdots&a_{n-1}&1+a_{n} \end{array} \right|$

$=(1+a_{1}+a_{2}+ \cdots+a_{n} )\left| \begin{array}{cccc} 1 &a_{2}&\cdots&a_{n-1}&a_{n} \\ 1& 1+a_{2} & \cdots&a_{n-1}&a_{n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 1 & a_{2} & \cdots&1+a_{n-1}&a_{n}\\ 1 & a_{2} & \cdots&a_{n-1}&1+a_{n} \end{array} \right|$

$=(1+a_{1}+a_{2}+ \cdots+a_{n} )\left| \begin{array}{cccc} 1&a_{2}&\cdots&a_{n-1}&a_{n} \\ 0&1&\cdots&0&0 \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0& 0&\cdots&1&0 \\ 0&0&\cdots&0&1 \\ \end{array} \right|$
$=(1+a_{1}+a_{2}+ \cdots+a_{n} )$

3、求行列式 $D_{4}=\left| \begin{array}{cccc} 0&1&1& a \\ 1&0&1&b \\ 1& 1&0&c \\ a&b&c&d \\ \end{array} \right|$ 的值

$D_{4}=\left| \begin{array}{cccc} 0&1&1& a \\ 1&0&1&b \\ 1& 1&0&c \\ a&b&c&d \\ \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cccc} 0&1&1& a \\ 1&0&1&b \\ 0& 1&-1&c-b \\ 0&b&c-a&d-ab \\ \end{array} \right|$

$=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&a \\ 0&-2&c-a-b \\ 0&c-a-b&d-2ab \end{array} \right| =-\left| \begin{array}{cccc} -2&c-a-b \\ c-a-b&d-2ab \\ \end{array} \right|$

$=2(d-2ab)+(c-a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac-2bc+2d$

二、复习

$\begin{equation*} \end{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2} \end{cases}$

$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \\ \end{array} \right| \neq 0$ ， $D_{1}=\left| \begin{array}{cccc} b_{1}&a_{12} \\ b_{2}&a_{22} \\ \end{array} \right| \neq 0$

$D_{2}=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&b_{1} \\ a_{21}&b_{2} \\ \end{array} \right| \neq 0$

$x_{1}=\frac{D_{1}}{D}$ ， $x_{2}=\frac{D_{2}}{D}$

$D_{1}$ 在D的基础上用常数项替换掉第一列。
$D_{2}$ 在D的基础上用常数项替换掉第二列。

三、知识点

1、定理一：克莱姆定理

若方程组的系数行列式
$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots& \vdots&\cdots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right| \neq 0$

则方程组有唯一解: $x_{1}=\frac{D_{1}}{D}$ ， $x_{2}=\frac{D_{2}}{D}$ ， $\cdots$ ， $x_{n}=\frac{D_{n}}{D}$

证明克莱姆定理：1、有解。2、解的公式。3、解唯一

$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&\cdots&a_{1(j-1)}&b_{1}&a_{1(j+1)} &\cdots&a_{1n} \\ \vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{n(j-1)}&b_{n}&a_{n(j+1)}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right|$

$x_{j}=\frac{D_{j}}{D}(j=1,2,\cdots,n)$

①证明有解以及解的公式
只需证明：①： $a_{11}\frac{D_{1}}{D}+a_{12}\frac{D_{2}}{D}+\cdots+a_{1n}\frac{D_{n}}{D}=b_{1}$

整理可得：②： $b_{1}D-a_{11}D_{1}-a_{12}D_{2}-\cdots-a_{1n}D_{n}=0$

可以联想到是否可能是一个 $n+1$ 阶行列式的展开？

$D_{n+1}=\left| \begin{array}{cccc} b_{1}&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ b_{1}&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ b_{2}&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n}&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right| =0$

附：该行列式两行相同，故等于0.

把这个行列式展开看是否和②相同，和②相同，则证明有解，且解为 $x_{j}=\frac{D_{j}}{D}(j=1,2,\cdots,n)$ 。

$D_{n+1}=b_{1}\left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right| -a_{11} \left| \begin{array}{cccc} b_{1}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ b_{2}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ b_{n}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right|$

$+a_{12}\left| \begin{array}{cccc} b_{1}&a_{11}&\cdots&a_{1n} \\ b_{2}&a_{21}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ b_{n}&a_{n1}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right| +\cdots+(-1)^{2+n}a_{1n}\left| \begin{array}{cccc} b_{1}&a_{11}&\cdots&a_{1,n-1} \\ b_{2}&a_{21}&\cdots&a_{2,n-1} \\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ b_{n}&a_{n1}&\cdots&a_{n,n-1} \\ \end{array} \right| =0$

②： $b_{1}D-a_{11}D_{1}-a_{12}D_{2}-\cdots-a_{1n}D_{n}=0$

这两者是一样的，注意两点。

一是 $a_{12}$ 的符号，上面的那个 $a_{12}$ 后面的行列式并不是 $D_{2}$ , $D_{2}$ 的常数项应该在第二列，因此该行列式需要换一列，刚好添一个负号就一样了。

二是 $a_{1n}$ 的符号，第一行，第n+1列，n+2没错，但是上面的那个 $a_{1n}$ 后面的行列式并不是 $D_{n}$ ， $D_{n}$ 的常数项应该在第n列，因此该行列式需要换n-1列，刚好添一个 $(-1)^{n-1}$ ，就变成了 $(-1)^{2n+1}$ ，所以符号也为负号。

②解是唯一的

设 $c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$ 为一组解，即

$\begin{equation*} \end{equation*} \begin{cases} a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}+ \cdots + a_{1n}c_{n}=b_{1} \\ a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}+ \cdots + a_{2n}c_{n}=b_{2} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}c_{1}+a_{n2}c_{2}+ \cdots + a_{nn}c_{n}=b_{n} \\ \end{cases}$

只需证 $c_{j}= \frac {D_{j}} {D}$ 即 $D\times c_{j}=D_{j}$

逻辑：我先证明了有一组解，然后另一组解可以写成 $\frac {D_{j}} {D}$ 的形式，再证明这一组解可以写成这种形式，即证明这个解是唯一的。

$D \cdot c_{j}= \left| \begin{array}{cccc} a_{11}&\cdots&a_{1(j-1)}&a_{1j}c_{j}&a_{1(j+1)}&\cdots&a_{1n} \\ \vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{n1}&\cdots&a_{n(j-1)}&a_{nj}c_{j}&a_{n(j+1)}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right|$

这个行列式是否会等于 $D_{j}$ ?

第一列乘以 $c_{1}$ ，第j-1列乘以 $c_{j-1}$ ，再加到第j列上。
第j列就变成： $b_{1}$ 到 $b_{n}$

那就刚好变成了 $D_{j}$ ，即常数项在第j列，由此得证。

2、定理二：克莱姆定理推论

若方程组的系数行列式不为零，则方程组有唯一解。

3、定理三：克莱姆定理应用于齐次线性方程组。

齐次线性方程组：

$\begin{equation*} \end{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+ \cdots + a_{1n}x_{n}=0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+ \cdots + a_{2n}x_{n}=0 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+ \cdots + a_{nn}x_{n}=0\\ \end{cases}$

本来方程组有解为零，若齐次方程组的系数行列式 $D \neq 0$ 则方程组有唯一零解，若 $D =0$ 则方程组有非零解。

问： $\lambda$ 为何值时，方程组有非零解？
$\begin{equation*} \end{equation*} \begin{cases} \lambda x+y-z=0 \\ x+\lambda y-z=0 \\ 2x-y+\lambda z=0\\ \end{cases}$

答：
$D=\left| \begin{array}{cccc} \lambda&1&-1 \\ 1&\lambda&-1 \\ 2&-1&\lambda \end{array} \right| =\lambda^{3}-1=0$

$\lambda=1$ 。故当 $\lambda=1$ 时，方程组有非零解。

四、练习

叙述克莱姆法则

最后编辑于：2021.04.12 21:11:01

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