1 概述

定义 （幂集代数）非空集合 的幂集 ，即 的所有子集构成的集合，关于集合的并、交与补运算构成的布尔代数，称为集合 上幂集代数（algebra of power sets），记作 。幂集代数的论域中含有 个元素，并且 为零元， 为单位元。

定义 （集合代数）非空集合 上幂集代数 的子布尔代数，即幂集 的子集 关于集合的并、交与补运算构成的布尔代数，称为 的子集代数或 上的集合代数，或称集合域。

2 集合系

具有某种特殊性质及一些额外结构的集合（全集）称为空间。以空间中的一些元素组成的集合，称为空间的集合。
定义 （集合系）以空间 中的一些集合为元素组成的集合称为 上的集合系统，简称集合系（set system）。

集合系本质上是集合 的具有某种特殊性质和额外结构的子集族。集合系作为集族（families of sets），一般用花体字母 来表示。

集族的单位： ，，则 叫做集族的单位。

3 代数

定义 （代数）设有非空集合 ，以及 上的非空集合系 ，若 中的集合满足交、并和补运算封闭，则称集合系 为集合 上的一个集合代数，简称代数（algebra），也称为域（field）。

以交运算为例，并运算同理。一般意义上，交运算指的是二元交运算，实际上，它和有限交运算是等价的。

定理 集合系对二元交运算封闭，等价于对有限交运算封闭。

证明：由结合律，二元交封闭可推出有限交封闭。另一方有限交封闭的特例就是二元交封闭。因此两者等价

因此，集合代数是一个对有限交、有限并和补运算封闭的集合系统。

容易知道，上述交并补运算封闭这三条性质并不是独立的。
（1）交运算封闭性： ， ；
（2）并运算封闭性： ， ；
（3）补运算封闭性： ， 。

首先，（1）可以替换为：
（1'） 且 。
利用（1'）（2）（3）及德摩根定律 即可得到交封闭性。当然，（1'）（1）（3）也是（1'）（2）（3）的等价定义。之所以保留并运算封闭性，仅仅出于习惯。

另外，利用（3），（1'）显然等价于
（1''） 。
同样地，也等价于 。之所以使用 （1''）也是仅仅出于习惯。

这样，我们就得到了代数的第二种等价定义：
定义 （代数）设有非空集合 ，以及 上的非空集合系 ，若 满足
（1）包含全集： ；
（2）并运算封闭性： ， ；
（3）补运算封闭性： ， 。
则称集合系 为集合 上的一个代数或域。

4 半代数

对于连续区间 ，我们无法直接得到它的幂集，但我们又想得到一个足够大的子集，一个比较简单的构造就是我们可以研究区间内所有左开右闭区间 组成的集合，这就是半代数的直观认知。

定义 （半代数）设有非空集合 ，及其上的非空集合系 ，若 满足：
（1） 且 ；
（2）交运算封闭性： ， ；
（3）补运算半封闭性：如果 ，则 是 中有限个不相交集合的并。即 ，其中 （）且 （ 且 ）。
则称集合系 为集合 上的半代数（semi-algebra）。

其中，性质（3）尚不可称为补运算的封闭性，但若将定义中的有限个改成一个，则上述定义便加强成为代数的定义。因此，代数是半代数的特例。

5 代数

集合代数的性质还是不够强大，因为它只具有有限交与并的封闭性。于是进一步的，若满足可数交和并的封闭性，就得到了 代数。

这里， 源自希腊语"求和（Σύνοψη）"的开头，代表的就是 sum 的含义，表示一种无穷可加性：可数可加性。至于更深层次的无穷可加性，暂时不在本次讨论范围。

类比代数的定义，我们可以如下定义 代数：
定义 （ 代数）非空集合 上的非空集合系 ，若它满足下列三个条件：
（1）包含全集： ；
（2）补运算封闭性：若 ，则 ；
（3）可列并运算封闭性：若 ，则 。
则称集合系 为集合 上的 代数，也称为 域。

注意：可列并运算的封闭性（又称可列可加性）。实际上蕴含有限并运算的封闭性（又称有限可加性）。两者统称可数并运算的封闭性（可数可加性）。

有两个特殊的 代数：
（1） 上含集合最少的 代数： ；
（2） 上含集合最多的 代数： 。

6 域（ 代数）

有单位的 环

环：集环且可列交运算下封闭。

代数等价于 代数。

总结：

（1） 代数一定是代数，反之不真；代数一定是半代数，反之不真。
（2） 代数的交仍是 代数。
（3）两个 代数的并甚至未必是一个代数。