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背景
1、PID神经元网络结构
PID神经元网络从结构上可以分为输入层、隐含层和输出层三层，n个控制量的PID神经元网络包含n个并列的相同子网络，各子网络间既相互独立，又通过网络连接权值相互联系。
每个子网络的输入层有两个神经元，分别接收控制量的目标值和当前值。
每个子网络的隐含层由比例元、积分元和微分元构成，分别对应着PID控制器中的比例控制、积分控制和微分控制。
PID神经元网络按被控制系统控制量的个数分为控制单变量徐彤的单控制量神经网络和控制多变量系统的多控制量神经元网络。其中，单控制量神经元网络是PID神经元网络的基本形式，多控制量神经元网络可以看成是多个单控制量神经元网络的组合形式。
单控制量神经元网络的拓扑结构如下图1所示。
图1中X1是控制量的控制目标，X2是控制量当前值，Y是神经元网络计算得到的控制律，Wij和Wjk是网络权值，从中可以看出单控制量神经元网络是一个三层前馈神经元网络，网络结构是2-3-1，隐含层包含比例元、积分元和微分元三个神经元。
多控制量神经元网络可以看成多个单控制量网络的并联连接，多控制量神经元网络拓扑结构如下图2 所示。
图2中，X11，X21，... ，Xn1是控制量的控制目标；X12，X22，... ，Xn2是控制量的当前值；Y1，Y2，... Yn是多控制量神经元网络计算得到的控制律；Wij和Wjk是网络权值。
2、权值修正
PID神经网络在控制的过程中根据控制律误差按照梯度修正法修正权值，使得控制量不断接近控制目标值，权值修正的过程如下。
误差计算公式如下：
式中，n为输出节点个数；yh(k)为预测输出；r(k)为控制目标。
PID神经元网络权值修正公式如下：
（1）输出层到隐含层：
（2）隐含层到输出层：
式中，η为学习速率。
3、控制对象
PID神经元网络的控制对象是一个3输入3输出的复杂耦合系统，系统的传递函数如下：
从上式可以看出，该系统的控制量相互耦合，用一般的控制方法难以取得理想的控制效果。
模型建立
PID神经元网络控制器和被控系统构成的闭环控制系统如下图3所示。
图3中，r1，r2，... ，rn是控制量的控制目标，u1，u2，... ，un为控制律，y1，y2，... ，yn为控制量当前值。
本文中，被控对象有三个控制律，所以选择包含三个单神经元网络组成的多神经元网络作为系统控制器。
网络权值随机初始化，控制量初始值为[0 0 0]，控制目标为[0.7 0.4 0.6]，控制时间间隔为0.001 s。
编程实现
根据PID神经元网络控制器原理，在MATLAB中编程实现PID神经元网络控制多变量耦合系统。
本文中PID神经网络控制器由三个单神经元控制器组成，代码较长且基本相同，这里只给出其中一个单神经元控制器的代码。
1、PID神经网络初始化
初始化神经元网络各层间的连接权值。
clc
clear
%% 网络结构初始化
rate1=0.006;rate2=0.001; %学习率
k=0.3;K=3;
y_1=zeros(3,1);y_2=y_1;y_3=y_2; %输出值
u_1=zeros(3,1);u_2=u_1;u_3=u_2; %控制率
h1i=zeros(3,1);h1i_1=h1i; %第一个控制量
h2i=zeros(3,1);h2i_1=h2i; %第二个控制量
h3i=zeros(3,1);h3i_1=h3i; %第三个空置量
x1i=zeros(3,1);x2i=x1i;x3i=x2i;x1i_1=x1i;x2i_1=x2i;x3i_1=x3i; %隐含层输出
%权值初始化
k0=0.03;
%第一层权值
w11=k0*rand(3,2);
w12=k0*rand(3,2);
w13=k0*rand(3,2);
%第二层权值
w21=k0*rand(1,9);
w22=k0*rand(1,9);
w23=k0*rand(1,9);
2、控制律计算
PID神经元网络根据系统控制量当前值和控制目标计算控制律，下述代码中只包含一个PID神经元网络控制器控制律计算，其余两个PID神经元网络控制律计算程序同下面程序一致。
%系统输出
y1(k)=(0.4*y_1(1)+u_1(1)/(1+u_1(1)^2)+0.2*u_1(1)^3+0.5*u_1(2))+0.3*y_1(2);
y2(k)=(0.2*y_1(2)+u_1(2)/(1+u_1(2)^2)+0.4*u_1(2)^3+0.2*u_1(1))+0.3*y_1(3);
y3(k)=(0.3*y_1(3)+u_1(3)/(1+u_1(3)^2)+0.4*u_1(3)^3+0.4*u_1(2))+0.3*y_1(1);
r1(k)=0.7;r2(k)=0.4;r3(k)=0.6; %控制目标
%系统输出限制
yn=[y1(k),y2(k),y3(k)];
yn(find(yn>ynmax))=ynmax;
yn(find(yn<ynmin))=ynmin;
%输入层输出
x1o=[r1(k);yn(1)];x2o=[r2(k);yn(2)];x3o=[r3(k);yn(3)];
%隐含层
x1i=w11*x1o;
x2i=w12*x2o;
x3i=w13*x3o;
%比例神经元P计算
xp=[x1i(1),x2i(1),x3i(1)];
xp(find(xp>xpmax))=xpmax;
xp(find(xp<xpmin))=xpmin;
qp=xp;
h1i(1)=qp(1);h2i(1)=qp(2);h3i(1)=qp(3);
%积分神经元I计算
xi=[x1i(2),x2i(2),x3i(2)];
qi=[0,0,0];qi_1=[h1i(2),h2i(2),h3i(2)];
qi=qi_1+xi;
qi(find(qi>qimax))=qimax;
qi(find(qi<qimin))=qimin;
h1i(2)=qi(1);h2i(2)=qi(2);h3i(2)=qi(3);
%微分神经元D计算
xd=[x1i(3),x2i(3),x3i(3)];
qd=[0 0 0];
xd_1=[x1i_1(3),x2i_1(3),x3i_1(3)];
qd=xd-xd_1;
qd(find(qd>qdmax))=qdmax;
qd(find(qd<qdmin))=qdmin;
h1i(3)=qd(1);h2i(3)=qd(2);h3i(3)=qd(3);
%输出层计算
wo=[w21;w22;w23];
qo=[h1i',h2i',h3i'];qo=qo';
uh=wo*qo;
uh(find(uh>uhmax))=uhmax;
uh(find(uh<uhmin))=uhmin;
u1(k)=uh(1);u2(k)=uh(2);u3(k)=uh(3);
3、权值修正
PID神经元网络根据控制律当前值和控制目标修正权值，使控制量接近控制目标，权值修正程序如下。
%计算误差
error=[r1(k)-y1(k);r2(k)-y2(k);r3(k)-y3(k)];
error1(k)=error(1);error2(k)=error(2);error3(k)=error(3);
J(k)=0.5*(error(1)^2+error(2)^2+error(3)^2); %调整大小
ypc=[y1(k)-y_1(1);y2(k)-y_1(2);y3(k)-y_1(3)];
uhc=[u_1(1)-u_2(1);u_1(2)-u_2(2);u_1(3)-u_2(3)];
%隐含层和输出层权值调整
%调整w21
Sig1=sign(ypc./(uhc(1)+0.00001));
dw21=sum(error.*Sig1)*qo';
w21=w21+rate2*dw21;
%调整w22
Sig2=sign(ypc./(uh(2)+0.00001));
dw22=sum(error.*Sig2)*qo';
w22=w22+rate2*dw22;
%调整w23
Sig3=sign(ypc./(uh(3)+0.00001));
dw23=sum(error.*Sig3)*qo';
w23=w23+rate2*dw23;
%输入层和隐含层权值调整
delta2=zeros(3,3);
wshi=[w21;w22;w23];
for t=1:1:3
delta2(1:3,t)=error(1:3).*sign(ypc(1:3)./(uhc(t)+0.00000001));
end
for j=1:1:3
sgn(j)=sign((h1i(j)-h1i_1(j))/(x1i(j)-x1i_1(j)+0.00001));
end
s1=sgn'*[r1(k),y1(k)];
wshi2_1=wshi(1:3,1:3);
alter=zeros(3,1);
dws1=zeros(3,2);
for j=1:1:3
for p=1:1:3
alter(j)=alter(j)+delta2(p,:)*wshi2_1(:,j);
end
end
for p=1:1:3
dws1(p,:)=alter(p)*s1(p,:);
end
w11=w11+rate1*dws1;
%调整w12
for j=1:1:3
sgn(j)=sign((h2i(j)-h2i_1(j))/(x2i(j)-x2i_1(j)+0.0000001));
end
s2=sgn'*[r2(k),y2(k)];
wshi2_2=wshi(:,4:6);
alter2=zeros(3,1);
dws2=zeros(3,2);
for j=1:1:3
for p=1:1:3
alter2(j)=alter2(j)+delta2(p,:)*wshi2_2(:,j);
end
end
for p=1:1:3
dws2(p,:)=alter2(p)*s2(p,:);
end
w12=w12+rate1*dws2;
%调整w13
for j=1:1:3
sgn(j)=sign((h3i(j)-h3i_1(j))/(x3i(j)-x3i_1(j)+0.0000001));
end
s3=sgn'*[r3(k),y3(k)];
wshi2_3=wshi(:,7:9);
alter3=zeros(3,1);
dws3=zeros(3,2);
for j=1:1:3
for p=1:1:3
alter3(j)=(alter3(j)+delta2(p,:)*wshi2_3(:,j));
end
end
for p=1:1:3
dws3(p,:)=alter2(p)*s3(p,:);
end
w13=w13+rate1*dws3;
%参数更新
u_3=u_2;u_2=u_1;u_1=uh;
y_2=y_1;y_1=yn;
h1i_1=h1i;h2i_1=h2i;h3i_1=h3i;
x1i_1=x1i;x2i_1=x2i;x3i_1=x3i;
4、结果分析
用PID神经网络控制3输入3输出的复杂耦合系统，网络初始权值随机得到，网络权值学习率为0.05，控制间隔为0.001 s，控制量的控制目标分别为0.7、0.4和0.6，PID神经网络控制效果如下图4所示，控制器误差如图5所示，图6为PID神经元网络的输入。
从图4-6可以看出，PID神经元网络控制器能够较好控制此多输入多输出复杂耦合系统，控制量最终值接近目标值。
拓展——神经元系数
在学习PID控制理论时，经常会用三个系数Kp,Ki,Kd来调节一个PID控制系统的性能，用PID神经元网络也有类似的神经元系数。
PID神经网络 控制器中隐含层三个节点分别对应着比例控制、积分控制和微分控制三个环节，积分控制神经元的值在不断累加，造成积分神经元值不断累积增加，微分控制神经元的值为控制量当前值和目标值的差，微分控制神经元值过小。
借鉴PID控制器中PID的参数设置，增加神经元输出乘积系数，隐含层输出值由隐含层神经元输出值乘以对应系数得到，计算公式如下：
比例神经元
积分神经元
微分神经元
式中，Kp，Ki，Kd为系数，Us2(K)为中间变量；net为输入值，u为输出值。
设置Kp=1，Ki=1.5，Kd=10，带神经元系数的PID神经元网络控制效果如图7、图8所示。
