图形变换的一些笔记

基本概念

旋转的表示方法——矩阵旋转和欧拉旋转和四元数旋转

矩阵旋转使用了一个4*4大小的矩阵来表示绕任意轴旋转的变换矩阵
1. 优点:旋转轴可以是任意量
2. 缺点:旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素;而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费
欧拉选择则是按照一定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量，它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。
四元数本质上是一种高阶复数，是一个四维空间，相对于复数的二维空间。
1. 优点:可以避免万向节锁现象;只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高;可以提供平滑插值

复数与矩阵的关系
z=a+bi的基是[1,i],因为:
$1=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}=I, 由i=\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix},得:i^2=-1$
所以
$z=a+bi=aI+bi=a\begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}+b\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&-b\\b&a \end{bmatrix}\\ 因此模||z||=\sqrt{a^2+b^2}$

3D旋转公式

欧拉角

绕x轴:
$R(\theta)=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&cos\theta&\sin\theta\\0&-sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}$
绕y轴:
$R(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta&0&-sin\theta\\0&1&0\\sin\theta&0&cos\theta \end{bmatrix}$
绕z轴
$R(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta&0\\-sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1 \end{bmatrix}$

绕任意轴旋转(矩阵)

$R(n,θ)=\begin{bmatrix} p'\\q'\\z' \end{bmatrix}=\\ \begin{bmatrix} n_x^2(1-cosθ)+cosθ&n_xn_y(1-cosθ)-n_zsinθ&n_xn_z(1-cosθ)+n_ysinθ\\ n_xn_y(1-cosθ)+n_zsinθ&n_y^2(1-cosθ)+cosθ&n_yn_z(1-cosθ)-n_xsinθ\\ n_xn_z(1-cosθ)-n_ysinθ&n_yn_z(1-cosθ)+n_xsinθ&n_z^2(1-cosθ)+cosθ \end{bmatrix}$

绕任意轴旋转(四元数)

$v'=qvq*=\begin{bmatrix} 1-2c^2-2d^2&2bc-2ad&2ac+2bd\\ 2bc+2ad&1-2b^2-2d^2&2cd-2ab\\ 2bd-2ac&2ab+2cd&1-2b^2-2c^2 \end{bmatrix}v$

缩放公式

2D沿坐标轴缩放: S(kx,ky)= $\begin{bmatrix} p'\\q' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} kx&0\\0&ky \end{bmatrix}$
2D沿任意轴n缩放k:
$v'=v'_⊥+v'_∥=v+(k-1)(v*n)n$
$S(n,k)=\begin{bmatrix} p'\\q' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+(k-1)n_x^2&(k-1)n_xn_y\\ (k-1)n_xn_y&1+(k-1)n_y^2 \end{bmatrix}$
3D沿任意轴n缩放k:
$S(n,k)=\begin{bmatrix} p'\\q'\\r' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+(k-1)n_x^2&(k-1)n_xn_y&(k-1)n_xn_z\\ (k-1)n_xn_y&1+(k-1)n_y^2&(k-1)n_yn_x\\ (k-1)n_xn_z&(k-1)n_zn_y&1+(k-1)n_z^2 \end{bmatrix}$

投影

向任意指向投影2D矩阵
$P(n)=S(n,0)=\begin{bmatrix} 1-n_x^2&(-n_xn_y)\\-n_xn_y&1-n_y^2 \end{bmatrix}$
向任意平面投影的3D矩阵
$P(n)=S(n,0)=\begin{bmatrix} 1-n_x^2&-n_xn_y&-n_xn_z\\ -n_xn_y&1-n_y^2&-n_yn_z\\ -n_xn_z&-n_zn_y&1-n_z^2 \end{bmatrix}$

镜像(倒影,反射)

将投影的推导公式中的缩放因子k设置为0就是投影,设置为-1就是镜像了
沿任意轴镜像的2D矩阵:
$P(n)=S(n,-1)=\begin{bmatrix} 1-2n_x^2&-2n_xn_y\\-2n_xn_y&1-2n_y^2 \end{bmatrix}$
沿任意轴镜像的3D矩阵
$P(n)=S(n,-1)=\begin{bmatrix} 1-2n_x^2&-2n_xn_y&-2n_xn_z\\ -2n_xn_y&1-2n_y^2&-2n_yn_z\\ -2n_xn_z&-2n_zn_y&1-2n_z^2 \end{bmatrix}$

变换公式

旋转的表示方法——矩阵旋转和欧拉旋转和四元数旋转

矩阵旋转使用了一个4*4大小的矩阵来表示绕任意轴旋转的变换矩阵
1. 优点:旋转轴可以是任意量
2. 缺点:旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素;而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费
欧拉角则是按照一定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量，它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。
四元数本质上是一种高阶复数，是一个四维空间，相对于复数的二维空间。
1. 优点:可以避免万向节锁现象;只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高;可以提供平滑插值

复数与矩阵的关系 z=a+bi的基是[1,i],因为: $1=\begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix}=I, 由i=\begin{bmatrix} 0&-1\1&0 \end{bmatrix},得:i^2=-1$ 所以 $z=a+bi=aI+bi=a\begin{bmatrix} 1&0\0&1 \end{bmatrix}+b\begin{bmatrix} 0&-1\1&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&-b\b&a \end{bmatrix}\ 因此模||z||=\sqrt{a^2+b^2}$

2D 旋转公式（矩阵型） $v'=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}v$ 2D 旋转公式（复数积型） $设:z=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}=cos\theta+isin\theta\ v'=zv=(cos\theta+isin\theta)v$ 2D 旋转公式（指数型） $设:e^{i\theta} = cos\theta+isin\theta\ 则v'=e^{i\theta}v$ 旋转的复合 v''=(z2z1)v=cos(θ2+θ1)-isin(θ2+θ1) 向量规范化或标准化 $\hat{u}=\frac{u}{||u||}$ 线性映射 向量映射:L:V->W(V映射到线性空间W) 正交投影(也称为平行投影):不会出现透视投影的近大远小的扭曲线性 三角函数 正弦函数y在[-1,1]范围,周期是T=2π 反正弦函数y在[-π/2,π/2]范围,无周期 二倍角公式 正弦:sin2θ=2sinθcosθ 余弦: $cos2\theta = 2cos^2\theta-1=1-2sin^2\theta$ 正切: $tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1=tan^2\theta}=\frac{2cot\theta}{cot^2\theta-1}=\frac{2}{cot\theta-tan\theta}$ 3D旋转公式 绕x轴: $R(\theta)=\begin{bmatrix} 1&0&0\0&cos\theta&\sin\theta\0&-sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}$ 绕y轴: $R(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta&0&-sin\theta\0&1&0\sin\theta&0&cos\theta \end{bmatrix}$ 绕z轴 $R(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta&0\-sin\theta&cos\theta&0\0&0&1 \end{bmatrix}$ 绕任意轴旋转 $R(n,θ)=\begin{bmatrix} p'\q'\z' \end{bmatrix}=\ \begin{bmatrix} n_x^2(1-cosθ)+cosθ&n_xn_y(1-cosθ)-n_zsinθ&n_xn_z(1-cosθ)+n_ysinθ\ n_xn_y(1-cosθ)+n_zsinθ&n_y^2(1-cosθ)+cosθ&n_yn_z(1-cosθ)-n_xsinθ\ n_xn_z(1-cosθ)-n_ysinθ&n_yn_z(1-cosθ)+n_xsinθ&n_z^2(1-cosθ)+cosθ \end{bmatrix}$ 投影 v∥是v在n上的投影,则:v∥=(v*n)n

叉乘 a与b叉乘得c,那么c垂直与a与b ||axb||=||a||||b||sinθ 叉乘最重要的是创建垂直于平面的向量如果n平行于v∥,则:n×v∥=0

缩放 2D沿坐标轴缩放: S(kx,ky)= $\begin{bmatrix} p'\q' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} kx&0\0&ky \end{bmatrix}$ 2D沿任意轴n缩放k: $v'=v'_⊥+v'_∥=v+(k-1)(v*n)n$ $S(n,k)=\begin{bmatrix} p'\q' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+(k-1)n_x^2&(k-1)n_xn_y\ (k-1)n_xn_y&1+(k-1)n_y^2 \end{bmatrix}$ 3D沿任意轴n缩放k: $S(n,k)=\begin{bmatrix} p'\q'\r' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+(k-1)n_x^2&(k-1)n_xn_y&(k-1)n_xn_z\ (k-1)n_xn_y&1+(k-1)n_y^2&(k-1)n_yn_x\ (k-1)n_xn_z&(k-1)n_zn_y&1+(k-1)n_z^2 \end{bmatrix}$ 投影向任意指向投影2D矩阵 $P(n)=S(n,0)=\begin{bmatrix} 1-n_x^2&(-n_xn_y)\-n_xn_y&1-n_y^2 \end{bmatrix}$ 向任意平面投影的3D矩阵 $P(n)=S(n,0)=\begin{bmatrix} 1-n_x^2&-n_xn_y&-n_xn_z\ -n_xn_y&1-n_y^2&-n_yn_z\ -n_xn_z&-n_zn_y&1-n_z^2 \end{bmatrix}$ 镜像(倒影,反射) 将投影的推导公式中的缩放因子k设置为0就是投影,设置为-1就是镜像了沿任意轴镜像的2D矩阵: $P(n)=S(n,-1)=\begin{bmatrix} 1-2n_x^2&-2n_xn_y\-2n_xn_y&1-2n_y^2 \end{bmatrix}$ 沿任意轴镜像的3D矩阵 $P(n)=S(n,-1)=\begin{bmatrix} 1-2n_x^2&-2n_xn_y&-2n_xn_z\ -2n_xn_y&1-2n_y^2&-2n_yn_z\ -2n_xn_z&-2n_zn_y&1-2n_z^2 \end{bmatrix}$ 矩阵的逆 $M(M^{-1})=M^{-1}M=I$ M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置伴随矩阵: $adjM=\begin{bmatrix} A11&A12&A13\ A21&A22&A23\ A31&A32&A33 \end{bmatrix}$ $M^{-1}=\frac{adjM}{|M|}$ 撤销变换 $(vM)M^{-1}=v(MM^{-1})=vI=v$ 正交矩阵 $若方阵M是正交的,则当且仅当M与它转置M^T的乘积等于单位矩阵:\ M正交\Leftarrow\Rightarrow MM^T=I$ 4D齐次矩阵 https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/79680364 平移是矩阵加法,加入一个维度编程矩阵乘法变换,跟其他变换统一将4D齐次向量变换到3D中时,要先把4D向量除以w 4X4矩阵实现3D平移 $\begin{bmatrix} x&y&z&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\ 0&1&0&0\ 0&0&1&0\ \Delta x&\Delta y&\Delta z&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+\Delta x&y+\Delta y&z+\Delta z&1 \end{bmatrix}$ 透视投影(用到相似三角形) 向z=d平面投影 $p=\begin{bmatrix} x\y\z \end{bmatrix}\Rightarrow p'=\begin{bmatrix} x'\y'\z' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} dx/z\dy/z\d \end{bmatrix}=\frac{d}{z}\begin{bmatrix} x\y\z \end{bmatrix}$ 用4X4矩阵向z=d平面投影(有4D齐次变换到3D公式,得) $\begin{bmatrix} x\y\z\1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\ 0&1&0&0\ 0&0&1&1/d\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x&y&z&z/d \end{bmatrix}$ 欧拉角与四元数 https://www.zhihu.com/question/47736315 欧拉角:非常直观地描述旋转的角度;物体坐标系与世界坐标系重叠,第一次旋转绕世界轴旋转,然后然物体坐标轴旋转万向节锁:轴环重叠导致失衡 求复数的模 $||p||=\sqrt{pp^*}=\sqrt{(a+bi)(a-bi)}=\sqrt{a^2+b^2}$ 2D旋转公式:矩阵形式 引入复数q和用2X2矩阵达到的效果一样 p=x+yi q=cosθ+isinθ p'=pq 四元数的虚部i,j,k的关系 $i^2=j^2=k^2=-1\ ij=k,ji=-k\ jk=i,kj=-1\ ki=j,ik=-j$ 四元数的四个值 $q=[cos(\theta/2),sin(\theta/2)n]=\ \begin{bmatrix} cos(\theta/2)&(sin(\theta/2)n_x&sin(\theta/2)n_y&sin(\theta/2)n_z) \end{bmatrix}$ 四元数的模 $||q||=||w\quad (x\quad y\quad z)||=\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}=\ ||[w\quad v]||=\sqrt{w^2+||v||^2}$ 三角公式 $sin^2x+cos^2x=1\ cos^2θ-sin^2θ=cos(2θ)\ 2sin(θ)cos(θ)=sin(2θ)$ 四元数的共轭和逆 共轭: $q^*=[w\quad v]^*=[w\quad -v]$ 逆: $q^{-1}=\frac{q^*}{||q||}$ 四元数乘法的标准定义 $\begin{bmatrix} w_1&(x_1&y_1&z_1) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_2&(x_2&y_2&z_2) \end{bmatrix}=\ \begin{bmatrix} w_1w_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2\ \begin{pmatrix} w_1x_2+x_1w_2+z_1y_2-y_1z_2\ w_1y_2+y_1w_2+x_1z_2-z_1x_2\ w_1z_2+z_1w_2+y_1x_2-x_1y_2 \end{pmatrix} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} w_1&v_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_2&v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} w_1w_2-v_1\cdot v_2&w_1v_2+w_2v_1+v_2\times v_1 \end{bmatrix}$ 四元数乘积的模等于模的乘积 $||q_1q_2||=||q_1||||q_2||$ 四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\ (q_1q_2...q_n)^{-1}=q_n^{-1}...q_2^{-1}q_1^{-1}$ 四元数点乘 $q_1\cdot q_2=w_1w_2+x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ 四元数对数 logq=log([cosθ nsinθ])=[0 θn] 3D 旋转公式（向量型，正交情况） $v'_⊥=cos(θ)v_⊥+sin(θ)(u×v_⊥)\ v'=v'_∥+v'_⊥=v_∥+cos(θ)v_⊥+sin(θ)(u×v_⊥)$ D 旋转公式（向量型，一般情况，也叫做「Rodrigues’Rotation Formula」） $v′ = cos(θ)v + (1 − cos(θ))(u · v)u + sin(θ)(u × v)$ 两个纯四元数 𝑣 = [0, v], 𝑢 = [0, u]相乘 𝑣𝑢 = [−v · u, v × u] 所以: 𝑢𝑣⊥= [−u · v⊥, u × v⊥] = [0, u × v⊥]= u × v⊥ 复数的乘法的几何意义可以理解为缩放与旋转的复合 如果复数的模=1,那么就是纯旋转 3D 旋转公式（四元数型，平行情况） 𝑣′∥= 𝑣∥ 3D 旋转公式（四元数型，一般情况） $𝑣′ = 𝑞𝑣𝑞∗ = 𝑞𝑣𝑞^{−1}$ 3D 旋转公式（矩阵型） $v'=qvq*=\begin{bmatrix} 1-2c^2-2d^2&2bc-2ad&2ac+2bd\ 2bc+2ad&1-2b^2-2d^2&2cd-2ab\ 2bd-2ac&2ab+2cd&1-2b^2-2c^2 \end{bmatrix}v$ 对任意四元数 𝑞1 = [𝑠, v]、𝑞2 = [𝑡, u]： $q^*_1q^*_2=(q_1q_2)^*$ 旋转的复合 $v^{''}=q_2q_1vq_1^*q_2^*=(q_2q_1)v(q_2q_1)^*$ 3D 旋转公式（指数型） $v'=e^{u\frac{θ}{2}}ve^{-u\frac{θ}{2}}$ 插值的公式 $𝑞_𝑡 = 𝑆𝑙𝑒𝑟𝑝(𝑞_0, 𝑞_1; 𝑡) = (𝑞_1𝑞^∗_0)^𝑡𝑞_0\.$ 线性插值 $v_t=Lerp(v_0,v_1,t)=v_0+t(v_1-v_0)=(1-t)v_0+tv_1$ 正规化线性插值 $v_t=Nlerp(v_0,v_1,t)=\frac{Lerp}{||Lerp||}= \frac{(1-t)v_0+tv_1}{||(1-t)v_0+tv_1||}$ 球面线性插值 $v_t=Slerp(v_0,v_1,t)=\frac{sin((1-t)θ)}{sinθ}v_0+\frac{sin(tθ)}{sin(θ)}q_1$ 球面四边形插值 $Quad(v_0, v_1, v_2, v_3; 𝑡)=(2𝑡^2 − 2𝑡 + 1)(1 − 𝑡)v_0 + 2(1 − 𝑡)^2𝑡v_1 + (1 − 𝑡)𝑡2v^2 + 𝑡(2𝑡_2 − 2_𝑡 + 1)v_3\.$ 已知数据 (x0, y0) 与 (x1, y1)，要计算 [x0, x1] 区间内某一位置 x 在直线上的y值 $\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\ y=y_0+\frac{(x-x_0)(y_1-y_0)}{x_1-x0}$ 复数相乘和矩阵相乘是变换的不同表达形式 $q=\begin{bmatrix} cos\theta&-sin\theta\sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}=cosθ+isinθ$ $p'=pq$

图形变换的一些笔记

基本概念

3D旋转公式

欧拉角

绕任意轴旋转(矩阵)

绕任意轴旋转(四元数)

缩放公式

投影

镜像(倒影,反射)

变换公式

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