MAGSAC++, a Fast, Reliable and Accurate Robust Estimator

作者：Dániel Baráth; Jana Noskova; Maksym Ivashechkin; Jiří Matas
年份：2020
机构：捷克理工大学
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原文地址：MAGSAC++, a Fast, Reliable and Accurate Robust Estimator

一种新的稳健估计方法被提出——MAGSAC++。它引入了一种新的模型质量（评分）函数，它不需要内外点决策，以及一种新的边缘化过程，它被公式化为M估计，其中包含通过迭代重新求解加权最小二乘法的新型M估计器（一个稳健的内核）。我们还提出了一个新的采样器，改进NAPSAC，用于类似RANSAC的稳健估计器。利用附近点通常来自现实世界数据中的同一模型这一事实，它比全局采样器更早地找到局部结构。从局部采样到全局采样的逐步过渡不会受到纯局部采样器的弱点的影响。在用于单应性和基本矩阵拟合的六个公开可用的真实世界数据集上，MAGSAC++ 产生的结果优于最先进的稳健方法。它更快，更准确并且很少失败。

Ⅰ 介绍

RANSAC算法是计算机视觉领域最广泛使用的鲁棒估计器。RANSAC重复选择输入点集的最小随机子集，并拟合模型。RANSAC算法自发布以来有许多改进的算法，如：

MLESAC：通过最大似然过程的有益特性估计模型质量。在实践中，MLESAC结果通常优于RANSAC，且对用户定义的内点-异常值阈值不敏感。
MINPRAN：减少对于外点内点阈值的依赖。
MAGSAC：边缘样本共识，使用噪声参数 $\sigma$ 估计模型阈值。除了不需要估计阈值，MAGSAC在其他方面也比其它估计器更加稳健。用加权最小二乘替代原先的最小二乘，权重通过边缘化程序计算。

但是MAGSAC比其他估计器慢许多，本文中，提出一个新的质量和模型函数，迭代重新加权最小二乘程序求解的一类新型 M 估计器（稳健核）。提出的MAGSAC++比原始方法更准确，并快一个数量级。

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NAPSAC/PROSAC：修改 RANSAC 采样策略以增加早期选择所有内点样本的概率。

我们在本文中提出了除MAGSAC++之外的改进NAPSAC (P-NAPSAC) 采样器，它通过从逐渐增长的邻域中抽取样本来融合局部和全局采样的优点。

MAGSAC++ 与 P-NAPSAC 采样器相结合，在速度、准确性和故障率方面优于最先进的稳健估计器。

Ⅱ MAGSAC++

MAGSAC基于两个基本假设：

噪声等级 $\sigma$ 是具有密度函数 $f(\sigma)$ 的随机变量，没有先验信息，且 $\sigma$ 服从均匀分布。
对于 $\sigma$ ，内点的误差是由n自由度的 $\chi$ 分布和 $\sigma$ 的密度函数决定的，当 $r<\tau(\sigma)$ 时

$\begin{equation*} g(r\ \vert\ \sigma)=2C(n)\sigma^{-n}\exp(-r^{2}/2\sigma^{2})r^{n -1}, \end{equation*}$

当 $r>\tau(\sigma)$ 时， $g(r\ \vert\ \sigma)=0$ ，对比度 $C(n)=(2^{n/2}\Gamma(n/2))^{-1}$ ，对于 $a>0$ ，有
$\begin{equation*} \Gamma(a)=\int_{0}^{+\infty}t^{a-1}\exp(-t)\mathrm{d}t \end{equation*}$
$\Gamma(\cdot)$ 为 $\Gamma$ 函数。

对于每一个可能的 $\sigma$ 值，点 $p$ 属于内点集 $P$ 的概率为
$\begin{equation*} \mathbf{P}(p\ \vert\ \theta_{\sigma},\sigma)=2C(n)\sigma^{-n}D^{n-1}(\theta_{ \sigma}, p)\exp\left(\frac{-D^{2}(\theta_{\sigma}, p)}{2\sigma^{2}}\right), \end{equation*}$
其中 $D(\theta_{ \sigma}, p)$ 为点到模型的误差。

在MAGSAC++中，提出了一种迭代加权最小二乘算法，参数
$\begin{equation*} \theta_{i+1}=\arg\min\nolimits_{\theta}\sum\limits_{p\in \mathcal{P}}w(D(\theta_{i}, p) )D^{2}(\theta, p), \tag{1} \end{equation*}$
其中点 $p$ 的权重为
$\begin{equation*}w(D(\theta_{i}, p))=\int \mathbf{P}(p\ \vert\ \theta_{i}, \sigma)f(\sigma)\mathrm{ d}\sigma \tag{2} \end{equation*}$
权重函数是内点误差的边际函数
$\begin{equation*} w(r)= \int g(r\ \vert\ \sigma)f(\sigma)\mathrm{d}\sigma. \end{equation*}$
令 $\tau(\sigma)=k\sigma$ ，当 $0\leq r\leq k\sigma_{\max}$ 时，
$\begin{align*} w(r)=\frac{1}{\sigma_{\max}} \int\nolimits_{r/k}^{\sigma_{\max}}g(r\vert \sigma) \mathrm{d}\sigma= \frac{1}{\sigma_{\max}}C(n)2^{\frac{n-1}{2}}\left(\Gamma\left( \frac{n-1}{2}, \frac{r^{2}}{2 \sigma_{\max}^{2}}\right)-\Gamma\left(\frac{n-1}{ 2}, \frac{k^{2}}{2}\right)\right)& \end{align*}$
其中
$\begin{equation*} \Gamma(a, x)=\int\nolimits_{x}^{+\infty}t^{a-1}\exp(-t)\mathrm{d}t \end{equation*}$
表示上不完全伽马函数。

为了能够选出最能解释数据的模型，质量函数 $Q$ 定义如下：
$\begin{equation*}Q(\theta,\mathcal{P})=\frac{1}{L(\theta,\mathcal{P})}, \tag{3} \end{equation*}$
其中
$\begin{equation*} L(\theta,\mathcal{P})=\sum\limits_{p\in\mathcal{P}}\rho(D(\theta, p)), \end{equation*}$
由权重函数 $w(r)$ 定义的M估计器的损失函数决定的。

对于 $0\leq r\leq k\sigma_{\rm max}$ ，
$\begin{align*}\rho(r)=& \frac{1}{\sigma_{\mathrm{m}\text{ax}}}C(n)2^{\frac{n+1}{2 }}[\frac{\sigma_{\max}^{2}}{2}\gamma(\frac{n+1}{2}, \frac{r^{2}}{2 \sigma_{\mathrm {m}\text{ax}}^{2}})+\\ &\ \frac{r^{2}}{4}(\Gamma(\frac{n-1}{2}, \frac{ r^{2}}{2 \sigma_{\max}^{2}})-\Gamma(\frac{n-1}{2}, \frac{k^{2}}{2}))] . \end{align*}$
对于 $r> k \sigma_{\rm max}$ ，
$\begin{equation*} \rho(r)=\rho(k\sigma_{\max})=\sigma_{\max}C(n)2^{\frac{n-1}{2}}\gamma (\frac{n+1}{2},\frac{k^{2}}{2}), \end{equation*}$
其中
$\begin{equation*} \gamma(a, x)=\int_{0}^{x}t^{a-1}\exp(-t)\mathrm{d}t \end{equation*}$
是下不完全伽马函数。

Ⅲ 改进NAPSAC算法

作者提出了一种新的采样技术，它逐渐从局部移动到全局，假设最初局部化的最小样本更有可能是全内的。如果假设不导致终止，则该过程逐渐向 RANSAC 的随机抽样移动。

NAPSAC算法主要步骤如下：

随机从所有点中选择初始点 ${\bf p}_ i$ ；
以 ${\bf p}_ i$ 为中心找到其半径为 $r$ 的超平面的点集 $S_{i,r}$ ；
若 $S_{i,r}$ 中点的数量少于最小采样值，重复步骤1；
点 ${\bf p}_ i$ 和 $S_{i,r}$ 形成最小一致样本。

在实践中，局部抽样存在三个主要问题。首先，适合局部所有内点样本的模型通常太不精确。其次，在某些情况下，从本地样本估计模型会导致退化。例如，对于基本矩阵拟合，对应关系必须来自多个平面。这通常意味着远距离的对应是有益的。因此，纯局部采样行不通。第三，当具有全局结构时，例如图像对中背景的刚性运动，局部采样比全局采样慢得多。因此，作者建议在局部和全局采样之间进行过渡，逐渐从一种混合到另一种。

改进NAPSAC算法

（后面实在看不太懂了）

Ⅳ 实验

比较的方法有 RANSAC、LMedS、MSAC、GC-RANSAC、MAGSAC和 MAGSAC++。所有方法都使用了USAC中提出的 P-NAPSAC 采样、抢占式模型验证和简并测试。

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Ⅴ 结论

在论文中，做出了两个贡献。首先，我们将一种新的边缘化程序制定为迭代重新加权的最小二乘法，并且我们引入了一种新的模型质量（评分）函数，该函数不需要内点-外点决策。其次，我们提出了一个新的采样器，改进NAPSAC，用于类似 RANSAC 的稳健估计器。P-NAPSAC 比全局采样器更早地发现了局部结构，这反映了附近的点通常来自现实世界数据中的同一模型这一事实。从局部采样到全局采样的逐步过渡不会受到纯局部采样器的弱点的影响。

这两个正交改进与USAC相结合，例如先发制人的验证、简并测试。在用于单应性和基本矩阵拟合的六个公开可用的真实世界数据集上，MAGSAC++ 产生的结果优于最先进的稳健方法。它速度更快，几何精度更高，故障更少。

MAGSAC++：一种快速、可靠、准确、鲁棒的估计器