7月13日，暑假第一次数学网上讨论课开始了。
我们是以这样的问答进行的。
对于第一题：一个长方形纸片，如果只允许切一刀，你能切出什么图形？同学们给出了各种不同的答案，大体可以分为以下几类
师：哪种答案表达的更准确？
曈：我觉得文字表达好
心、瑜、津、甜：我觉得图形好
师：对的，还有同学是这样表达的。
对比以上几种表达，你觉得哪种更好一些？
甜：我觉得图像文字都表达出来好
师：这几种表达的特点有哪些？
卓、淋：图形直观、易懂
甜：文字比较麻烦
师：在数学中，通常会有三种语言:文字语言、图像语言（图形语言）、符号语言。
图形语言更为直观，文字语言概括性强。对应的还有符号语言，谁能举一个符号语言的例子？
卓：（a＋b）c＝ac＋bc
瑜：s=ah
曈：s=vt
飞：>、<、=
师：对的。这些都称之为符号语言。符号语言更抽象。三种语言各有优劣。同时，三者之间又是可以相互转化的。
师：回到第一题，对于梯形只切一刀，有同学是这么切的，你认同吗？
生：认同
师：还有同学将梯形分为直角梯形和非直角梯形两类。你认同吗？
卓、甜：它还有其它切法
师：是的，我们无法画出所有的切割可能性。
曈：有无数种
师：现阶段我们使用的都是归纳推理。即通过一些例子得出结论，并没有经过严密的科学论证。在小学阶段的数学学习，对于规律的得出主要是归纳推理，等到我们进入初中之后会逐渐接触逻辑推理，例如三角形的全等证明等。有兴趣的同学可以在课下，来尝试科学的逻辑证明。
生：好的。
第二题：一个四边形总是可以分割成两个三角形，你认同吗？
有同学通过举例来说明，他的观点。你认同吗？谁能解释一下？
曈、卓、甜、瑜：他的观点我不认同
师：为什么？
淋：上面那个图把横线往两个相对的角那里就能啊
曈：因为只要切出两个三角形就行了
师：是的，题目是说只要能切除两个三角形即可，不是每种切法都必须切成两个三角形
师：还有同学认为要把“任意四边形”改成“规则四边形”。如何定义“规则四边形”？
淋：我觉得规则四边形的四条边是有规律的，而任意四边形的四条边是没有规律的。
卓：应该是对边相等
曈：有平行的边
师：大家认为，规则的四边形就是有相等或是平行的边长的四边形？
生：不一定。
师：延伸话题：如果要给四边形分类，可以按照什么标准，分成哪几类？大家可以把这个问题，留作课下作业来思考。
共识：任意一个四边形总是可以分割成两个三角形
对于任意四边形，我们把不相邻的两个顶点相连，总会得到两个三角形。
从切割的角度，我们找到了三角形与四边形的关系。
第3题：两个什么样的三角形可以拼成一个长方形？
师：有同学是这么想的，
甜、曈、淋：应该是两个相同的直角三角形
师：对的，这里要两个完全相同的直角三角形。
从拼补的角度，我们找到了三角形与四边形的关系。
师：还有同学是这样想的
曈、津：可以
师：一个长方形可以切割成两个相同的直角三角形，两个相同的直角三角形拼补之后，能得到一个长方形。此时，割——补，两个动作的逆反，将长方形和直角三角形建立了关系。
类推，两个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个正方形。
生：认同。
师：对于两个什么样的三角形可以拼成一个梯形？有同学认为：
瑜：不认同
师：一个锐角三角形和一个钝角三角形就一定能组成一个梯形吗？
甜：不认同
瑜：是可能
师：还需要什么条件？
瑜：必须要有一条边相等
生：是
共识：至少一个边长相等的三角形可以拼成一个梯形
第四题：运用上题的拼补变换，推导三角形的面积公式
师：有同学这样想的，谁能解释一下。
生：底乘高除于二
师：通过我们刚讨论的割补来理解呢？
瑜、甜、淋：先用平行四边形的面积公式算出两个完全相等的三角形的面积，再除二
铎：把三角形补成平行四边形
师：还有其他的方法吗？
有同学这样做，如何理解？
曈：一个三角形分割成两个直角三角形，两个相同的直角三角形可以拼补成一个长方形。
师：这里有两种想法：一种是三角形拼成平行四边形，一种是先切割成直角三角形，再拼补成长方形。
时间关系，留做课下作业。思考一个问题：我们是由三角形推出平行四边形、梯形的面积，还是由平行四边形推出三角形、梯形的面积？同学们可以把自己的思考心得，写成数学小论文，上传至群里
生：好的，
淋：真希望每天都能有这样的讨论课
