点集拓扑学习笔记

为了回答什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一度量诱导出来这一问题，提出了分离性公理，其中概念较为繁多，在此记录，以便日后查阅。
$T_0$ 空间： $X$ 是一个拓扑空间， $X$ 中任两个不同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点。
$T_1$ 空间：对任两个点，每一个点都有不包含另一个点的开邻域。
$Hausdorff(T_2)$ 空间：对任两个点，各自有一个开邻域，使两开邻域互不相交。
正则空间： $X$ 中任一点和不包含这个点的闭集，各有一个开邻域，它们互不相交。
正规空间：任两个互不相交闭集各有一个开邻域，使得这两个邻域互不相交。
$T_3$ 空间：正则的 $T_1$ 空间
$T_4$ 空间：正规的 $T_2$ 空间

$Urysohn$ 引理： $X$ 是一个拓扑空间， $[a,b]$ 是一个闭区间，则 $X$ 是一个正规空间当且仅当对于 $X$ 中的任两个无交的闭集 $A$ 和 $B$ ，存在一个连续映射 $f:X\rightarrow [a,b]$ 使得当 $x\in A$ 时 $f(x)=a$ 和当 $x\in B$ 时 $f(x)=b$

$Tietze$ 扩张定理：设 $X$ 是一个拓扑空间， $[a,b]$ 是一个闭区间，则 $X$ 是一个正规空间当且仅当对于 $X$ 中的任何一个闭集 $A$ 和任何一个连续映射
$f:A\rightarrow[a,b]$
有一个连续映射
$g:X\rightarrow[a,b]$ 是 $f$ 的扩张

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